ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．

　この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は

　　±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n　　　ｎ＝０，±１，±２，・・・

により与えられます．ペル方程式は√ｄの最良近似値を次々に生成する所以です．

　今回のコラムではまずｄ＝２の場合を扱ってみましょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】√２の近似値とペル数列

　√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　ところで，ａn＝２ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列と呼ばれます．これにはおもしろい性質があって，

　　１^2＋１^2＝１^2＋１

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

　　ｔn+1＋√２ｕn+1＝（１＋√２）（ｔn＋√２ｕn）

　　　　　　　　　　＝（ｔn＋２ｕn）＋√２（ｔn＋ｕn）

より

　　ｔn+1＝ｔn＋２ｕn

　　ｕn+1＝ｔn＋ｕn

　　ｃn ＝［ｔn，ｕn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［１，２］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［１，１］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝２ｃn+1＋ｃn

　ところで，ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

　また，連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

　　ｔn ＝１／２（γ^n＋δ^n）

　　ｕn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝