高次元の球や立方体については見て考えることができないので，２次元・３次元から類推して考えることになります．ところが，高次元の場合，奇妙なことが起こるので類推があてになりません．

　微分トポロジーは大きく分けて，高次元多様体（５次元以上）と低次元（３次元・４次元）を扱うものに分かれますが，高次元微分トポロジーからはミルナーのエキゾチック球面について（その１）で紹介しました．（その２）では低次元微分トポロジーからドナルドソンの定理を紹介します．

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【１】ドナルドソンの定理

　ミルナーの結果から，微分可能構造の存在とその単独性のどちらも保証されません．さらに興味深いことに，ｎ次元ユークリッド空間Ｒ^nでは，

　　次元　　　　　微分構造

　　数直線　　　　　１

　　平面　　　　　　１

　　空間　　　　　　１

　　４次元空間　　　∞

　　５次元空間　　　１

　　６次元空間　　　１

つまり，４次元空間では微分構造の数が無限個になるというのです．

　このことは，１９８２年にドナルドソンという数学者が最初に証明したのですが，ドナルドソンは４次元微分可能多様体にゲージ理論を適用してＲ^4に異種構造が存在する，そして３次元空間ではどのような閉じた有界な領域も球体に閉じこめられるが．４次元空間ではどのような超球にも閉じこめられない閉じた有界な領域が存在する，３次元や５次元のユークリッド空間ではこのようなことは決して起こらないことを示して数学界を驚かせました．

　４次元のエキゾチックなＲ^4存在するということは，４次元多様体の特異性を際立たせる重要な定理です．しかし，ドナルドソンの定理は理論物理学にでてくるヤン・ミルズ場を使った難解な内容のため，おいそれと近づくことさえできませんでした．

　その証明を易しくしたのが，４つの力の統一を目指した「超弦理論」で名高いウィッテンです．とはいっても，３次元・４次元の問題は「低次元問題」という難しい分野に分類されていますから，ドナルドソンやウィッテンの研究対象やその業績については小生のまったく理解できないものなので，ノーコメントとせざるを得ませんが，・・・（生兵法は怪我の元）．

　トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなものを研究するのですが，空間の性質は，次元が変わるごとに劇的といってよいほど変わります．しかし，それは単にオイラー標数の話だけでなく，そこにはもっと深い幾何学的な事情があるのです．

　４次元微分トポロジーにおけるドナルドソンやウィッテンの理論によると，４次元空間だけが非常に特殊なのですが，４次元が特別だからこそ，われわれが４次元時空に存在できる理由だと考えられています．ともあれ，高次元の世界は，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なっているのです．

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