■太鼓の形は聞こえない(その17)

 半立方体では

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

 7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)

であるが,これまで,

  f(n,0)=2^n-1

  f(n,1)=2^n-2(n−1)n/2

  f(n,2)=2^n-2n(n−1)(n−2)/3

  f(n,3)=2^n-4n(n−1)(n−2)^2/3

  f(n,n−1)=2^n-1+2n

が得られている.検証してみると

  f(n,0)=2^n-1 → OK

  f(n,1)=2^n-2(n−1)n/2 → OK

  f(n,2)=2^n-2n(n−1)(n−2)/3 → OK

  f(n,3)=2^n-4n(n−1)(n−2)^2/3 → OK

  f(n,n−1)=2^n-1+2n → n>3のとき,OK

であった.

  f(n,k)=n!/(k+1)!(n−k)!{2^n-1(n−k)+2^n-k(k+1)}

ときれいな形にまとまった.これは

  f(n,k)=n次元立方体のk面数+2^n-k-2(n次元立方体のn−k−1面数)

になっている.この式を検証してみたところ,・・・

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[1]k=2のとき

  f(n,2)=n(n−1)/6{2^n-1(n−2)+2^n-2・3}

=n(n−1)/6・{2^n-2(2n−1)}→NG

 正しくは

  f(n,2)=2^n-2n(n−1)(n−2)/3

[2]k=3のとき

  f(n,3)=n(n−1)(n−2)/24・{2^n-1(n−3)+2^n-1}

=2n-1n(n−1)(n−2)^2/24→OK

[3]k=n−1のとき

  f(n,n−1)=n!/n!{2^n-1+2n}=2^n-1+2n→OK

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【まとめ】

  f(n,0)=2^n-1

  f(n,1)=2^n-2(n−1)n/2

  f(n,2)=2^n-2n(n−1)(n−2)/3

  f(n,3)=2^n-4n(n−1)(n−2)^2/3

  f(n,k)=n!/(k+1)!(n−k)!{2^n-1(n−k)+2^n-k(k+1)}  k>2のとき

  f(n,n−1)=2^n-1+2n → n>3のとき

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