■太鼓の形は聞こえない(その10)

 Dnは無限系列ではあるがワイソフ構成されていないので,一様多面体ではないと思われる.確認してみよう.

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 n半立方体Hnのファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

 2次元:(2,1)

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

 7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)

である.

 Hnでは,

  0次元面数:合計・1/2n

  1次元面数:合計・1/n

  2次元面数:合計・1/(n−2)

  ・・・・・・・・・・・・・・・・

  n−3次元面数:合計・1/3

  n−2次元面数:合計・1/2

  n−1次元面数:合計・1

 したがって,漸化式

  合計=2^n-1・(n,k+1)+2n・f(n−1,k)

  f(n,0)=合計/2n

  f(n,1)=合計/n

  f(n,k)=合計/(n−k),k=2〜n−1

の形で与えられる.

  f(n,n−1)=2^n-1+2n,また,f(n,0)=2^n-1

 2次元:(2,1)

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

 7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)

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[1]n半立方体Hnのファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

[2]たまたま,3次元では正四面体,4次元では正16胞体となるが,5次元以上ではそれほど簡単な図形ではない.5次元の場合は,16個の正5胞体と10個の正16胞体で囲まれた立体(中心対称ではない)である.6次元になると,この図形12個と5次元の正単体32個で囲まれた図形である.

[3]すなわち,

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

[4]5次元:(16,80,160,120,26)は面が正多面体という意味では準正多面体であるが,一様ではないため,それに相当する準正多面体はない.

[5]2次元:(2,1)としたが,その場合H3(4,6,4)では

  4個の正三角形(3,3)と6個の線分(2,1)の合計は

  頂点数:4・3+6・2=24の1/6

  辺数:4・3+6・1=18の1/3

  面数:4・1=1

[6]2次元:(2,2)とする流儀もある.すなわち,2角形とみなしているのであって,その場合,H3(4,6,4)では

  4個の正三角形(3,3)と6個の線分(2,2)の合計は

  頂点数:4・3+6・2=24の1/6

  辺数:4・3+6・2=24の1/4

  面数:4・1=1

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