分子が１である分数を単位分数と呼びます．古代エジプト人は分数を表すのに，互いに異なる単位分数の和として表しました．たとえば，５／７は

　　５／７＝１／７＋１／７＋１／７＋１／７＋１／７

ではなく，互いに異なる単位分数の和ですから，３つの単位分数を用いて

　　５／７＝１／２＋１／５／１／７０

と書くことができます．

　一般に，有理数を単位分数の和に表現する問題

　　ｍ／ｎ＝１／ｘ1＋１／ｘ2＋・・・＋１／ｘk

は多くの問題を派生させます．

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【１】エジプト分数

　どんな分数でも相異なる単位分数の和として表現できることは，簡単に証明できます．それでは

　(1)分数ｐ／ｑを越えない最大の単位分数を求め，ｐ／ｑから差し引き，それをｐ1／ｑ1とする

　(2)分数ｐ1／ｑ1を越えない最大の単位分数を求め，ｐ1／ｑ1から差し引き，それをｐ2／ｑ2とする

　(3)分数ｐi／ｑiを越えない最大の単位分数を求め，ｐi／ｑiから差し引き，それをｐi+1／ｑi+1とする

という手順を繰り返せば，つねに単位分数表示が得られるでしょうか？

　答えはyesで，このアルゴリズムは破綻しないことが知られています．もちろん，その表示の仕方はただ１通りです．

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　単位分数の和としての表現は少なくとも１つは存在するのですが，しかし，単位分数表示は１通りとは限らず，たとえば，前述の５／７は

　　５／７＝１／２＋１／７＋１／１４

　　５／７＝１／３＋１／４＋１／８＋１／１６８

のように何通りも表し方があります．

　２／（２ｎ−１）という形の分数の相異なる単位分数の和による表現では，欲張り算法により

　　２／（２ｎ−１）＝１／ｎ＋１／ｎ（２ｎ−１）

のように２個の単位分数を用いて表示できます．

　　２／３＝１／２＋１／６

　　２／５＝１／３＋１／１５

　　２／７＝１／４＋１／２８

　　２／１１＝１／６＋１／６６

　　２／２３＝１／１２＋１／２７６

はこの式に従っていますが，

　　２／９＝１／６＋１／１８

　　２／１３＝１／８＋１／５２＋１／１０４

　　２／１５＝１／１０＋１／３０

　　２／１７＝１／１２＋１／５１＋１／６８

　　２／１９＝１／１２＋１／７６＋１／１１４

　　２／２１＝１／１４＋１／４２

は欲張り算法によるものではありません．

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【２】エジプト分数の問題

　ここでは単位分数を３項使って有理数を表現することを問題にします．エルデシュとシュトラウスは方程式

　　４／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

がｎ＞１であるすべての正の整数について解をもつと予想しました．

　シェルピンスキーは，有理数の単位分数への分解について

　　５／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

は，２以上のあらゆる整数ｎについて整数解ｘ，ｙ，ｚをもつと予想しました．

　なお，相異なる奇数の逆数の和が１になるためには，少なくとも９項必要で，９項の表現は全部で５通りであることが知られています．

１／３＋１／５＋１／７＋１／９＋１／１１＋１／１５＋１／３５＋１／４５＋１／２３１＝１

１／３＋１／５＋１／７＋１／９＋１／１１＋１／１５＋１／３３＋１／４５＋１／３８５＝１

１／３＋１／５＋１／７＋１／９＋１／１１＋１／１５＋１／２１＋１／２３１＋１／３１５＝１

１／３＋１／５＋１／７＋１／９＋１／１１＋１／１５＋１／２１＋１／１３５＋１／１０３９５＝１

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