たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができる．しかし，どうすればそんなことに気づくことができるようになるのだろうか？

　モジュラ関数

　　ｊ（ｚ）＝ｅｘｐ（−２ｉπｚ）＋７４４＋１９６８８４ｅｘｐ（２ｉπｚ）＋・・・

において，

　　ｊ（ｉ）＝１７２８＝１２^3

この性質が次の逸話のもとになっているが，長い間，数について研究し，さまざまな関連性を熟知していなければできないことであろう．

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［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝７・１３・１９

　　ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙ）^2−３ｘｙ

　　ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＞ｘ＋ｙ

となるとは限らない．結局（その３）とは違って全数を調べあげなければならないことになるが，

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３・１９，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３・１９，ｘ＋ｙ＝７

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１９，ｘ＋ｙ＝１３

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３，ｘ＋ｙ＝１９

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１９，ｘ＋ｙ＝７・１３

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝７・１９

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７，ｘ＋ｙ＝１３・１９

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝７・１３・１９

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると（ｘ，ｙ）＝（１，１２），（９，１０），（１０，９），（１２，１））が得られる．

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