■数とあそぶ(その2)

1^3+5^3+3^3=153

のように

100a+10b+c=a^3+b^3+c^3となる数を3ナルシスト数,

10^3a+10^2b+10c+d=a^4+b^4+c^4+d^4となる数を4ナルシスト数,

10^4a+10^3b+10^2c+10d+e=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5となる数を5ナルシスト数というのだそうである.

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[Q]100a+10b+c=a^3+b^3+c^3となる3ナルシスト数をみつけよ

 この問題は(その1)の問題とは違って,やってみるまではわからないという代物である.その意味でナルシスト(自己中心的)なのかもしれないが,3ナルシスト数は153,370,371,407の4つある.

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 最初の数字が0でない4ナルシスト数には,

  8^4+2^4+0^4+8^4=8208

以外にも

  1^4+6^4+3^4+4^4=1634

  9^4+4^4+7^4+4^4=9474

 5ナルシスト数は

  5^5+4^5+7^5+4^5+8^5=54748

  9^5+2^5+7^5+2^5+7^5=92727

  9^5+3^5+0^5+8^5+4^5=93084

がある.

 nナルシスト数はn≦60のときしか存在しない.なぜなら,

  n・9^n<10^n-1

  logn+nlog9<n−1

  logn+.964243n<n−1

n=61のとき,左辺59.9941,右辺60

となるからである.

 ナルシスト数は全部で88個あることが証明されている.n=2ではナルシスト数は存在しない.n=4では1634,8208,9474.n=5では54748,92727,93084.n=6では548834.

 その最も大きなものは39桁の数,

115132219018763922565095597973971522401

2番目に大きいものは同じく39桁の数,

115132219018763922565095597973971522400

である.

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