【１】合同数と楕円曲線

　２つの方程式をかけると

　　（ｚｗｘ／ｙ^3）^2＝（ｘ^2／ｙ^2）^3−Ａ^2（ｘ^2／ｙ^2）

を得る．

　合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘ＝ｘ（ｘ＋Ａ）（ｘ−Ａ）

　　Ａは合同数←→ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘは無限個の有理点をもつ

との関連については

　　　J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版

などを参照していただきたいのであるが，わかっていることをまとめると，

［１］Ａが分離的数の場合，

　　　Ａ＝１，Ａ＝２→自明解のみ

　　　Ａ＝３（ｍｏｄ８）→自明解のみ

　　　Ａ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

Ａ＝１，２（ｍｏｄ８）→どちらの場合もある

　Ａが分離的とはｐ^2｜Ａなる素数ｐがないこと，すなわち，Ａ＝±ｐ1ｐ2・・・ｐn，ｐi≠ｐjと因数分解されることである（Ａ＝±１は分離的，Ａ＝１は平方数であり分離的数である唯一の整数）．

　ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

という予想は，ＢＳＤ予想からも自然にでてくるものであるという．

［２］非自明解がある場合，

　　Ａｃ^2＝ａｂ（ａ^2−ｂ^2）　　（ａ，ｂ）＝１，ａ≠ｂ（ｍｏｄ２）

を満足するａ，ｂ，ｃに対して，

　　ｘ＝（ａ^2＋ｂ^2，２ｃ，ａ^2−ｂ^2＋２ａｂ，ａ^2−ｂ^2−２ａｂ）

は非自明解を与える．

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