ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

この問題は一見するとまったく異なる問題，

　　ｘ^2−ｘ＋４１

はｘ＝１，２，・・・，４０に対して，すべて素数値をとる，という問題に関係しています．

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【１】２次形式

　　２次形式ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2がどのような整数を表現できるか考えます．

［ｘ］＝［ｓ，ｔ］［Ｘ］

［ｙ］　［ｕ，ｖ］［Ｙ］，ｓｖ−ｔｕ＝１で変数変換します．このとき，

Ａ＝ａｓ^2＋ｂｓｕ＋ｃｕ^2

Ｂ＝２ａｓｔ＋ｂ（ｓｖ＋ｔｕ）＋２ｂｕｖ

Ｃ＝ａｔ^2＋ｂｔｖ＋ｃｖ^2

とおくと，

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ＡＸ^2＋ＢＸＹ＋ＣＹ^2

とばって，両者は同じ数を表現する（同値）．

　また，両者の判別式も等しく

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＝Ｂ^2−４ＡＣ＜０

となる．

　このことから，２次形式ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2の判別式

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

の値が等しくなる同値でない２次形式の個数を「類数」と呼ぶ．

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【２】類数

　類数の研究はラグランジュとガウスに始まる．とくに興味が持たれるのは類数の値が１となるＤがどれくらいあるかであった．

　その研究は徐々に進展し，１９５０年代になってヘーグナー，１９６７年にはスターク，ベイカーによって，類数１をもつＤは９つしかないことが示された．

　Ｄ＝−３，−４，−７，−８，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３

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