−ｄ＝４３，６７，１６３

はとても面白い性質をもっています．

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

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　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　ｅｘｐ（π√１６３）は，１９６５年のエイプリル・フールのジョークとして，マーチン・ガードナーは整数だと主張しました．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４

　しかしながら，ゲルフォント・シュナイダーの定理より，ｅｘｐ（π√１６３）は超越数であって，整数にはならないことが証明されます．もしこれが整数になったら一大事ですが，整数との差はわずか１兆分の１未満であって，見事としかいいようがありません．

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　この問題は一見するとまったく異なる問題，

　　ｘ^2−ｘ＋４１

はｘ＝１，２，・・・，４０に対して，すべて整数価をとる，という問題に関係しています．

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