任意のａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項に分解することを考えてみます．
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／ｐ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｑ）
公式
ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））
を使うと，
１／ｎ＝（１／ｐ＋１／ｑ）／（１−１／ｐｑ）
ｎ＝（ｐｑ−１）／（ｐ＋ｑ）
ｑ＝（ｎｐ＋１）／（ｐ−ｎ）
ここで，ｐ＝ｎ＋ｍとおくと
ｑ＝ｎ＋（ｎ^2＋１）／ｍ
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（ｍ／（ｎ^2＋ｍｎ＋１））
したがって，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になることがわかります．
逆に，ｎ^2＋１＝ｋｍのときだけ
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｋ））
が成り立つのですが，ｎ^2＋１＝ｋｍとなるのはどのようなときなのでしょうか？
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【１】ガウス整数
ａ，ｂを整数として
ａ＋ｂｉ
で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．
また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，１の４乗根である
±１，±ｉ
の４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．
素数は複素数体でも定義されますが，ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです．数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．
４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．
２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2
５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）
２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）
ガウス素数を列挙すると
１±ｉ，３，２±ｉ，７，１１，３±２ｉ，４±ｉ，１９，２３，５±２ｉ，３１，・・・
となりますが，
１±ｉ，２±ｉ，３±２ｉ，４±ｉ，５±２ｉ
はそれぞれ２，５，１３，１７，２９，・・・すなわち，２および４ｋ＋１型素数に対応するガウス素数ということになります．
また，ａ＋ｂｉがガウス素数ならばその共役ａ−ｂｉやそれに単数±１，±ｉを掛けたｂ±ａｉなど計８通りもガウス素数ですが，単数の違いを除いて，その表し方は本質的に１通りというわけです．
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【２】ガウスの素因数分解
［１］たとえば，５＋ｉでは
（５＋ｉ）（５−ｉ）＝５^2＋１＝２６＝２・１３
２→１±ｉ，１３→３±２ｉ
です．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応しますから，偏角を幾何学的に考慮することによって
５＋ｉ＝（１＋ｉ）（３−２ｉ）
と素因数分解することができます．
［２］７０＋ｉでは
（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９
１３→３±２ｉ，２９→５±２ｉ
ですから
７０＋ｉ＝ｉ（３−２ｉ）^2（５−２ｉ）
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【３】ステルマー分解
ｎ±ｉ
はガウスの整数ですが，ここではａ＋ｂｉではなく，ｎ±ｉなる複素数を使って分解することを考えます．
冒頭に掲げたことより，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になりますが，そのようなｍは２と４ｋ＋１型素数の積，あるいは，ｎ^2＋１の約数として表現できることがわかります．
ｍ＝１，２，５，１０，１３，１７，２５，２６，２９，３４，３７，４１，５０，５３，５８，６１，６５，７３，７４，８２，８５，８９，９７，・・・
ｍではなくｎについては，ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，
ｎ＝７ ７^2＋１＝５０＝２・５^2 → ｐ＝５
ｎ＝１８ １８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３
ｎ＝５７ ５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３
ｎ＝２３９ ２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３
もステルマー数ではありません．一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．
最初の３０個のステルマー数ｎとそれに対応する最大素因数ｐは，
ｎ ｐ ｎ ｐ ｎ ｐ
１ ２ １５ １１３ ２８ １５７
２ ５ １６ ２５７ ２９ ４２１
４ １７ １９ １８１ ３３ １０９
５ １３ ２０ ４０１ ３４ ８９
６ ３７ ２２ ９７ ３５ ６１３
９ ４１ ２３ ５３ ３６ １２９７
１０ １０１ ２４ ５７７ ３７ １３７
１１ ６１ ２５ ３１３ ３９ ７６１
１２ ２９ ２６ ６１７ ４０ １６０１
１４ １９７ ２７ ７３ ４２ ３５３
［１］５はステルマー数ですから，５＋ｉのステルマー分解はそれ自身になります．
［２］７０＋ｉでは
（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９
ですから，７０はステルマー数ではありません．
１２±ｉ→１２^2＋１＝５・２９
となることから，２９でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは１２です．すなわち，最初のステルマー数は１２になります．
ステルマー分解を求めるには，ｎがステルマー数となっている数ｎ±ｉを元の数ａ＋ｂｉに繰り返し掛けていきます．このとき，符号は対応する素数ｐをキャンセルできるように選びます．この例では
（７０＋ｉ）（１２＋ｉ）＝８３９＋８２ｉ→×
（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝８４１−５８ｉ＝２９（２９−２ｉ）
ですから，
（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）
５±ｉ→５^2＋１＝２・１３
より，１３でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは５です．すなわち，次のステルマー数は５ですから，
（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５＋ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５＋ｉ）＝２９（１４７−１９ｉ）→×
（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５−ｉ）＝２９（１４３−３９ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）
同様のことを繰り返すと
（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）（５−ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）（５−ｉ）＝９８０２（２−ｉ）
２はステルマー数ですから，これですべてステルマー数に対応する複素数となりました．実数の偏角はすべて０です．したがって，偏角については
ａｒｃｔａｎ（１／７０）−ａｒｃｔａｎ（１／１２）−２ａｒｃｔａｎ（１／５）＝−ａｒｃｔａｎ（１／２）
が成り立つことがわかります．
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【４】雑感
ガウスは，ガウス整数がガウス素数の積に一意に分解できることを発見しました．それに対して，ステルマーはどんなａｒｃｔａｎ（ｘ）もｎがステルマー数になっているａｒｃｔａｎ（１／ｎ）の和として一意に表されることを発見しました．
ステルマー数の話は「エジプト式単位分数」に似ていると思われた方も多いと思われますが，分子が１である分数を単位分数と呼びます．古代エジプト人は分数を表すのに，互いに異なる単位分数の和として表しました．たとえば，５／７は
５／７＝１／７＋１／７＋１／７＋１／７＋１／７
ではなく，互いに異なる単位分数の和ですから，３つの単位分数を用いて
５／７＝１／２＋１／５／１／７０
と書くことができます．
どんな分数でも相異なる単位分数の和として表現できることは，簡単に証明できます．それでは
(1)分数ｐ／ｑを越えない最大の単位分数を求め，ｐ／ｑから差し引き，それをｐ1／ｑ1とする
(2)分数ｐ1／ｑ1を越えない最大の単位分数を求め，ｐ1／ｑ1から差し引き，それをｐ2／ｑ2とする
(3)分数ｐi／ｑiを越えない最大の単位分数を求め，ｐi／ｑiから差し引き，それをｐi+1／ｑi+1とする
という手順を繰り返せば，つねに単位分数表示が得られるでしょうか？
答えはyesで，このアルゴリズムは破綻しないことが知られています．もちろん，その表示の仕方はただ１通りです．
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単位分数の和としての表現は少なくとも１つは存在するのですが，しかし，単位分数表示は１通りとは限らず，たとえば，前述の５／７は
５／７＝１／２＋１／７＋１／１４
５／７＝１／３＋１／４＋１／８＋１／１６８
のように何通りも表し方があります．
２／（２ｎ−１）という形の分数の相異なる単位分数の和による表現では，欲張り算法により
２／（２ｎ−１）＝１／ｎ＋１／ｎ（２ｎ−１）
のように２個の単位分数を用いて表示できます．
２／３＝１／２＋１／６
２／５＝１／３＋１／１５
２／７＝１／４＋１／２８
２／１１＝１／６＋１／６６
２／２３＝１／１２＋１／２７６
はこの式に従っていますが，
２／９＝１／６＋１／１８
２／１３＝１／８＋１／５２＋１／１０４
２／１５＝１／１０＋１／３０
２／１７＝１／１２＋１／５１＋１／６８
２／１９＝１／１２＋１／７６＋１／１１４
２／２１＝１／１４＋１／４２
は欲張り算法によるものではありません．
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