■フルヴィッツ・ボレルの定理(その3)

【1】周期1の整数

 最も素朴な循環連分数は

  √m=[q0;2q0,2q0,2q0,・・・]

で表されるものと考えられます.→コラム「整数の平方根の連分数」,「もうひとつの白銀比」参照

 このとき,

  P=2q0^2+1,Q=2q0

より,mは

  (2q0^2+1)^2−m・4q0^2=±1

を満たす整数となるのですが,結局,このようなmは

  m=q0^2+1=2,5,10,・・・

となることが導き出されます.

  √2=[1;2,2,2,・・・]

  √5=[2;4,4,4,・・・]

  √10=[3;6,6,6,・・・]

  √101=[10;20,20,20,・・・]

[Q]長方形から正方形を2つ切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは?

[A]1:x=x−2:1 → x=1+√2

[Q]長方形から正方形をn個切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは?

[A]1:x=x−n:1 → x=(n+√(n^2+4))/2

 これは黄金比のもうひとつの一般化であるが,この操作は無限連分数

  (n+√(n^2+4))/2=[n:n,n,n,,n,・・・]

で表されることと同義である.

  φ=[1:1,1,1,,1,・・・]

  1+√2=[2:2,2,2,2,・・・]

  (3+√13)/2=[3:3,3,3,3,・・・]

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【2】周期1から周期2へ

[Q]大長方形から正方形をa個切り取った後に残る中長方形から,正方形をb個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは?

[A]単純循環連分数

  L=[a:b,b,b,b,・・・]

で表される数Lを求めてみることにしましょう.

  L−a=R=[0:b,b,b,b,・・・]=1/(b+R)

  R^2+bR−1=0 → R=(−b+(b^2+4)^(1/2))/2

  L=a+R=a−b/2+(b^2/4+1)^(1/2)

  a=1,b=1 → L=(1+√5)/2=[1;1,1,1,1,1,・・・]

  a=1,b=2 → L=√2=[1;2,2,2,2,2,・・・]

  a=2,b=4 → L=√5=[2;4,4,4,・・・]

[Q]大長方形から正方形をa個切り取った後に残る中長方形から,正方形をb個切り取り,さらに正方形をc個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは?

[A]同様に,2項が循環する連分数は

  L=[a:b,c,b,c,・・・]

  L−a=R=[0:b,c,b,c,・・・]=1/(b+1/(c+R))

  bR^2+bcR−c=0 → R=(−c+(c^2+4c/b)^(1/2))/2

  L=a−c/2+(c^2/4+c/b)^(1/2)

  a=1,b=1,c=2 → L=√3=[1;1,2,1,2,1,2,・・・]

  a=2,b=2,c=4 → L=√6=[2;2,4,2,4,2,・・・]

 実数xの整数部分,小数部分を

  x=[x]+{x}

で表します.同様に,連分数表示を整数部分と小数部分に分けます.

  [a:b,b,b,b,・・・]=a+[0:b,b,b,b,・・・]=a+<b,b,b,b,・・・>

  [a:b,c,b,c,・・・]=a+[0:b,c,b,c,・・・]=a+<b,c,b,c,・・・>

 たとえば,小数部分<b,b,b,・・・>となる数をxとおくと,

  x=1/(b+x) → x=(√(n^2+4)−n)/2

このように循環連分数は整数係数の2次方程式の解となります(ラグランジュの定理).

  (√5−1)/2=[0:1,1,1,,1,・・・]

  √2−1=[0:2,2,2,2,・・・]

  (√13−3)/2=[0:3,3,3,3,・・・]

 <1,1,1,・・・>=xはx=1/(1+x)の正の解(√5−1)/2に収束します.この近似分数は,フィボナッチ数列

  a0=0,a1=1,an+2=an+an+1

  1,2,3,5,8,13,・・・

の相隣る2項の比となります.

 また,<2,2,2,・・・>=xはx=1/(2+x)の正の解√2−1に収束します.この近似分数は,数列

  a0=1,a1=1,an+2=an+2an+1

  1,2,6,12,29,70,・・・

の相隣る2項の比となります.この数列は√2−1の最良近似数列です.

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【3】黄金比のもうひとつの一般化

 最も素朴な循環連分数は

  √m=[q0;2q0,2q0,2q0,・・・]

で表されます.このとき,

  P=2q0^2+1,Q=2q0

より,mは

  (2q0^2+1)^2−m・4q0^2=±1

を満たす整数となるのですが,結局,このようなmは

  m=q0^2+1=2,5,10,・・・

となることが導き出されます.

  √2=[1;2,2,2,・・・]

  √5=[2;4,4,4,・・・]

 それに対して,高貴な数とは黄金比のようにその連分数展開が無限に多くの1で終わる数

  [a0:a1,・・・,an,1,1,1,・・・]

として定義される.→コラム「高貴な数」参照

 たとえば,

  1/τ^2=1/(1+τ)=[0:2,1,1,1,・・・]

であり,黄金比

  τ=[1:1,1,1,1,・・・]

は無理数の中の最も無理な数であり,高貴な数の中で最も高貴なものである.

 なお,w=[0:a1,a2,・・・]とすれば

  1−w=[0:1,a1−1,a2,・・・]

wが高貴であるならば1−wもそうである.また,もし,a1−1=0ならば,1−(1−w)=wより

  [・・・,am,0,am+2,・・・]=[・・・,am+am+2,・・・]

  1/(1+τ)=[0:2,1,1,1,・・・]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  √2=[1:2,2,2,2,・・・]

を得るのに,

  Ak=2Ak-1+Ak-2,A0=1,A1=1

  Bk=2Bk-1+Bk-2,B0=0,B1=1

を用いて  

  Ak=1,1,3,7,17,41,99,・・・

  Bk=0,1,2,5,12,29,70,・・・

を得る.Ak,Bkはx^2−2y^2=+1とx^2−2y^2=−1の解と交互に対応する.そして,Ak/Bkは上下から交互に√2に近づく.

 ν=[a0:a1,・・・,an,1,1,1,・・・]

によって定義される高貴な数νは,

  ν=(τAn+An-1)/(τBn+Bn-1)

のように表現できる.ここでAk,Bkは[a0:a1,・・・,an]のk番目の近似分数の分子と分母である.

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