ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるだろうか？

　ラグランジュの定理の一般化がラマヌジャンのリストである．それらは

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2からｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋１０ｗ^2まで

すべてＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形をしていて，５４通りあることが知られている（ラマヌジャン）．

　また，もう一つのラグランジュの定理の一般化の試みが「１５定理」である．

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【１】１５の定理と整数の表現（驚くべき定理）

　驚くべきことに，１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．

　４変数２次形式では，たとえば，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．しかし，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

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