任意の４つの整数の巡回的に符号を無視した（差の絶対値の）階差数列をとる．たとえば，

　　２，５，７，１３

に対して，２と１３は隣り合うものとして・・・

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第１階差　３，２，６，１１

第２階差　１，４，５，８

第３階差　３，１，３，７

第４階差　２，２，４，４

第５階差　０，２，０，２

第６階差　２，２，２，２

第７階差　０，０，０，０

　ドゥッチは，どのような４数から始めたとしても，有限解の繰り返しで必ず（０，０，０，０）に達することを発見した（１９３７年）．その繰り返しの回数に上限はない．

　この操作を３数，たとえば（０，１，１）に対して適用すると，

第１階差　１，０，１

第２階差　１，１，０

第３階差　０，１，１

と循環的になり決して（０，０，０）にはならない．

　４数に限らず，項数が２のベキならばどのような２^n数から始めたとしても，有限解の繰り返しで必ず０に達するのである．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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