■スー・モース数列(その4)

 整数を2つの集合に分け,それぞれのベキ乗の和が等しくなる等式を探す問題はプルーヘ・タリー・エスコット問題と呼ばれる.

 以下,いくつかの数字を間引いても等しくなる例を掲げる.曲芸的であろう.

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 1+5+8+12=2+3+10+11

 1^2+5^2+8^2+12^2=2^2+3^2+10^2+11^2

 1^3+5^3+8^3+12^3=2^3+3^3+10^3+11^3

 1+6+7+8+14+15=2+3+9+10+11+16

 1^2+6^2+7^2+8^2+14^2+15^2=2^2+3^2+9^2+10^2+11^2+16^2

 1^3+6^3+7^3+8^3+14^3+15^3=2^3+3^3+9^3+10^3+11^3+16^3

 1^4+6^4+7^4+8^4+14^4+15^4=2^4+3^4+9^4+10^4+11^4+16^4

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 2の累乗,たとえば,1から32までのすべての数字を含む排他的数列では4乗和でも,1から64までのすべての数字を含む排他的数列では5乗和でも等しくなる.1から16までのすべての数字を含む排他的数列では3乗和まで等しくなる.

 {an}={1,4,6,7,10,11,13,16}

 {bn}={2,3,5,8,9,12,14,15}

 1+4+6+7+10+11+13+16=2+3+5+8+9+12+14+15=68

 1^2+4^2+6^2+7^2+10^2+11^2+13^2+16^2=2^2+3^2+5^2+8^2+9^2+12^2+14^2+15^2=748

 1^3+4^3+6^3+7^3+10^3+11^3+13^3+16^3=2^3+3^3+5^3+8^3+9^3+12^3+14^3+15^3=9248

 1+6+7+8+14+15=2+3+9+10+11+16

 {cn}={1,6,7,8,14,15}

 {dn}={2,3,9,10,11,16}

で,4,5,12,13が省かれ,4乗和まで等しい.どのように考えれば,一般性を引き出せるだろうか?

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