ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ0＝１，ａ1＝３，ａ2＝１９，ｂ0＝１，ｂ1＝１，ｂ2＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．このことを連分数の立場から再検討してみたい．

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【１】ｅに収束する分数列

　　ａ1／（ｂ1＋ａ2／（ｂ2＋ａ3／（ｂ3＋ａ4／（ｂ4＋ａ5／ｂ5＋・・・）

＝Φａk／／ｂk

Φ１／／（４ｋ−２）では，ａk＝１，ｂk＝４ｋ−２

　　ｐ-1＝１，ｐ0＝０，ｐk＝ａkｐk-2＋ｂkｐk-1＝ｐk-2＋（４ｋ−２）ｐk-1

　　ｑ-1＝０，ｑ0＝１，ｑk＝ａkｑk-2＋ｂkｑk-1＝ｑk-2＋（４ｋ−２）ｑk-1

　　　(k=1,2,･･･)

ｐ1＝１，ｐ2＝６，ｐ3＝６１，・・・

ｑ1＝２，ｑ2＝１３，ｑ3＝１３２，・・・

　　ｅ＝１／／１＋１／／２＋１／／６＋１／／１０＋１／／１４＋・・・

＝１／／１＋Φ１／／（４ｋ−２））＋・・・

を第ｋ項で打ち切ると

１／（１＋ｐk／ｑk）

＝ｑk／（ｐk＋ｑk）

＝（ｑk-2＋（４ｋ−２）ｑk-1）／（ｐk-2＋ｑk-2＋（４ｋ−２）（ｐk-1＋ｑk-1））

　ここで，Ｐk＝ｑk，Ｑk＝ｐk＋ｑkとおくと，

＝（Ｐk-2＋（４ｋ−２）Ｐk-1）／（Ｑk-2＋（４ｋ−２）Ｑk-1）

Ｐ-1＝０，Ｐ0＝１，Ｐ1＝２，Ｐ2＝１３，・・・

Ｑ-1＝１，Ｑ0＝１，Ｑ1＝３，Ｑ2＝１９，・・・

ｎ＝ｋ−１，ｋ＝ｎ＋１とおくと，

＝（Ｐn-1＋（４ｎ＋２）Ｐn）／（Ｑn-1＋（４ｎ＋２）Ｑn

Ｐ0＝０，Ｐ1＝１，Ｐ2＝２，Ｐ3＝１３，・・・

Ｑ0＝１，Ｑ1＝１，Ｑ2＝３，Ｑ3＝１９，・・・

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［まとめ］初期値だけが冒頭と異なっている．

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