■ディオファントス近似(その10)

 √2=a/b,すなわち,a^2=2b^2であれば√2そのものになりますが,これを満たす整数はありません.そこで,

  a^2−2b^2=±1

を満たす整数を考えます.

 (a,b)=(3,2)が最小解ですが,以後(7,5),(17,12),・・・と続きます.

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  この数列のある項をa/bとすれば,次の項は

  (a+2b)/(a+b)

となり,(a,b)=(3,2),(7,5),(17,12),(41,29),(99,70),(239,169)・・・と続いていきます.

 その際,

  a^2−2b^2=1とすると(a+2b)^2−(a+b)^2=−1

  a^2−2b^2=−1とすると(a+2b)^2−(a+b)^2=1

になり,交互に符号が変わります.すなわち,√2より交互に大きいか小さいということになります.

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