（その３），（その５）では与えられたｆ個の面をもつ多面体に対する等周不等式の問題を取り上げた．

（Ｑ）３次元空間の多面体について，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何か？

（Ａ）ｆ≦７においては正四面体，直三角柱，立方体，直五角柱．ｆ＝１２では正十二面体が最小値をとる．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではない．

　凸ｆ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つ．

　与えられた頂点数をもつ多面体の場合，対応する不等式は正しくないことがわかっていて，たとえば，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）（３ｔａｎ^2（ωn）−１）

であることが予想されているが，これは未だに解決されていない．

　今回のコラムでは，多面体ではなく多角形に対する等周問題と取り上げてみたい．平面上の凸多角形に関してさえ，未だに解決されていない問題がたくさん残っているのである．

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【１】２次元等周不等式

　「周長Ｌの等しい平面領域で，最大の面積Ｓをもつものは円である．」これを別の表現にしたものが，等周不等式

　「Ｌ^2≧４πＳ　　　等号は円に対してのみ成り立つ．」

である．

　ｎ角形に関する等周不等式は，ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形であるから，

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ．

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［Ｑ］与えられた直径をもつ凸ｎ角形で，最大周長をもつものは何か？

［Ａ］ｎが奇数ｋで割り切れるならば，ルーローのｋ角形の各弧をｎ／ｋ等分して頂点を決め，その凸包となる多角形．ｎ＝２^rの場合は未解決で，最適な四角形は正方形ではなく，最適な八角形もまた正八角形でないことが示されている．

　一般にｎ角形の直径に関する問題はｎの整除性ゆえ難解となる．たとえば，奇数のｎに対して，与えられた直径をもつ凸ｎ角形で，最大面積をもつものは正ｎ角形であるが，ｎ≧６の偶数の場合はあてはまらない．正方形以外にも多くの最適四角形があり，最適六角形・八角形は正五角形・正七角形をわずかに変形させたものであることが示されている．

［Ｑ］与えられた直径をもつ３次元多面体で，最大体積をもつものは何か？

はなかなか一筋縄ではいかない問題であろう．なお，３次元空間の多面体について，以下のことがわかっている．

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【２】多面体の稜の全長について

　単位球面をｎ（≧３）個の等面積な部分に分割する網目の長さの総和Ｌについては，

　　Ｌ≧６（ｎ−２）ａｒｃｃｏｓ（２／√３ωn）

等号は３稜頂点多面体の球面網に対してのみ成り立ちます．

　また，表面積Ｓの凸多面体のすべての面が等面積ならば，稜の全長は

　　Ｌ≧√（６（ｎ−２）Ｓｔａｎωn）

等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つ．

　以上より，与えられた直径Ｄの球を内部に含むならば，Ｌ／Ｄの値は立方体のとき最小値をとり，

　　Ｌ≧１２Ｄ

となることが証明されています．立方体が最小の稜の長さの和をもつのです．

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