１８世紀末になって，ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1＋・・・＋ａn＝０は複素数の範囲に解をもつ」，「ｎ次方程式は複素数の範囲にｎ個の解をもつ」という解の存在証明＝「代数学の基本定理（fundamental theorem of algebra）」を証明しました（１７９９年）．

　代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は１次および２次の実数多項式の積である，あるいは任意の複素係数多項式は１次の複素数多項式に分解されうることを述べています．多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが，ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので，生涯に４つの異なる証明を与えています（最後の証明は１８４８年になされた）．

　今回のコラムでは，複素数係数のｎ次方程式の複素数解が複素平面上で作るｎ角形の性質に関する「ガウスの定理」を紹介します．

　　［参］シェーンベルグ「数学点描」近代科学社

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【１】ガウス・リュカの定理

　複素数係数の２次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1とα2，１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβとする．このとき，線分α1α2の中点が点βとなる．（あとのためには，点βが線分α1α2の中点であるというよりも，点βが線分α1α2の重心であるといったほうがよい．）

　複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．

　一般に，ｎ次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，・・・，αnと書くことにすると，ｎ−１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解β1，β2，・・・，βn-1はｎ角形［α1，α2，・・・，αn］に，ｎ−２次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解γ1，γ2，・・・，γn-2はｎ−１角形［β1，β2，・・・，βn-1］に含まれる．・・・．１次方程式ｆ^(n-1)（ｚ）＝０の解ωはｎ角形［α1，α2，・・・，αn］の重心となる．

　「代数学の基本定理」の解の位置関係については，このようなことまで成り立ってしまうのです．

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【２】ガウスの定理の証明のあらすじ

　ここでは，複素数係数の３次方程式の複素数解が複素平面上で作る３角形の性質に関する「ガウスの定理」の証明のあらすじを紹介します．

　　ｆ（ｚ）＝ａｘｚ3＋ｂｚ^2＋ｃｚ＋ｄ＝０

の解をα1，α2，α3，

　　ｆ’（ｚ）＝３ａｚ^2＋２ｂｚ＋ｃ＝０

の解をβ1，β2とします．

　すなわち，

　　ｆ（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）（ｚ−α3）＝０

　　ｆ’（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）＋（ｚ−α2）（ｚ−α3）＋（ｚ−α3）（ｚ−α1）＝０

　このとき，複素有理関数

　　Ｆ（ｚ）＝ｆ’（ｚ）／ｆ（ｚ）＝１／（ｚ−α1）＋１／（ｚ−α2）＋１／（ｚ−α3）

を導入すると

　　ｆ（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の極，ｆ’（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の零点をなることを使うと，ガウスの定理を導出することができます．

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【３】ファンデンバーグ・ジーベックの定理

　「ガウスの定理」より

　　『複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．』ですが，もっと面白い現象

　　『２点β1，β2は三角形α1α2α3の３辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる．』

に到達することができます．

（証）γ＝（α1＋α2＋α3）／３＝（β1＋β2）／２

また，３辺の中点は

　　μ1＝（α2＋α3）／２，μ2＝（α3＋α1）／２，μ3＝（α1＋α2）／２

　このとき，中線定理を使うと

　　｜μ1−β1｜＋｜μ1−β2｜＝｜μ2−β1｜＋｜μ2−β2｜＝｜μ3−β1｜＋｜μ3−β2｜

が成り立つ．

［系］与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は，接点が各辺の中点となるものである．その面積比は

　　π／３√３

で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい．

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［補］三角形についてのパップスの中点定理

　△ＡＢＣにおいて，辺ＢＣ上に中点Ｍが与えられている．このとき，

　　ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝２（ＡＭ^2＋ＢＭ^2）

が成り立つ．

　３辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ＡＭ＝ｘで表すと，

　　２（ｘ^2＋（ａ／２）^2）＝ｂ^2＋ｃ^2

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