■スターリングの不等式(その10)

  1−y1=2/n(n+1)

より,規格化前(正単体の辺の長さ1)の置換多面体の体積は

  Vn=(n+1)^(n-1/2}/2^n/2・{2/n(n+1)}^n

 もし,置換多面体の体積が内接球で近似できるとしたら

  Vn=(n+1)^(-1/2}・2^n/2/n^n

〜 π^(n/2)/Γ(n/2+1)・r^n

  r^n〜VnΓ(n/2+1)/π^(n/2)

が成立しなければならない.

 ここでは偶数次元の場合(n=2k)だけを扱うことにするが,

  r^2k〜V2kk!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・(2πk^2)^-k・k!→誤り修正

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 また,切頂切稜面までの距離は

  hj={(j+1)(n−j)/2n^2(n+1)}^1/2

で与えられる.

  h0={1/2n(n+1)}^1/2=r

とすると,

  r^2k={1/2・2k(2k+1)}^k

  k!〜(2k+1)^(1/2}・(2πk^2)^k{4k(2k+1)}^-k

〜(2k+1)^(1/2}・{πk/2(2k+1)}^k

〜(2k+1)^(1/2}・{π/2(2k+1)}^k・k^k

となって,スターリング近似式に似てきた.

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  r^2k〜(2k+1)^(-1/2}・(2πk^2)^-k・k!

  hj={(j+1)(n−j)/2n^2(n+1)}^1/2=r

を代入すると

  {(j+1)(2k−j)/8k^2(2k+1)}^k

 〜(2k+1)^(-1/2}・(2πk^2)^-k・k!

  k!〜(2k+1)^(1/2}{π/4・(j+1)(2k−j)/(2k+1)}^k

[1]j=0のとき

  k!〜(2k+1)^(1/2}{π/4・2k/(2k+1)}^k

    〜(2k+1)^(1/2}・{π/2(2k+1)}^k・k^k

[2]j=1のとき

  k!〜(2k+1)^(1/2}{π/2・(2k−1)/(2k+1)}^k

    〜(2k+1)^(1/2}・{π(1−1/2k)/(2k+1)}^k・k^k

 ここで,

  (1−1/2k)^2k→exp(−2k)

  (1−1/2k)^k→exp(−k)

であるから,ますますスターリング近似式に似てくる.

[3]j=2のとき

  k!〜(2k+1)^(1/2}{3π/2・(k−1)/(2k+1)}^k

    〜(2k+1)^(1/2}・{3π/2・(1−1/k)/(2k+1)}^k・k^k

  (1−1/k)^k→exp(−k)

であるが,いずれの場合も

  (2k+1)^k=(2k)^k(1+1/2k)^k→(2k)^kexp(2)

となり,スターリング近似式に似ていないことになってしまう.

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