（その２）では，拡張されたパスカルの円錐曲線定理を紹介した．直線２本でできた図形を２次曲線，直線３本でできた図形を３次曲線とすると，この定理を適用することができる．

　そのため，パスカルの拡張形定理は楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）の結合法則をも保証するものであって，その意味では楕円曲線論，代数曲線論，さらにはコンパクト複素多様体における基本定理の原型となる重要な定理となっていて，アーベルの定理やリーマン・ロッホの定理を介して，代数幾何学の重要な定理と深く関わっている．

　今回のコラムでは（その３）を補完しておきたい．

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【１】射影変換

　射影変換

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

によって，２点間の距離や２直線の角度は保たれないが，直線は直線に，２次曲線は２次曲線に変換され，直線が２次曲線に接している状況は保存される．

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【２】楕円曲線の不変量

　楕円曲線は

　　Ｃ：ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

は（複素）射影変換によって，ルジャンドル標準形

　　Ｅ：ｙ^3＝（ｘ−α1）（ｘ−α2）（ｘ−α3）

に変換される．

　Ｅ上にある無限遠点（楕円曲線の弓の部分の上下の極限が無限遠で繋がっていると考える）から，Ｅに４本の接線

　　ｘ＝α1，ｘ＝α2，ｘ＝α3，ｘ＝∞

が引ける．このとき，これらと直線ｙ＝０との交点α1，α2，α3，∞の非調和比

　　λ＝（α1−α2）（α3−∞）／（α1−α3）（α2−∞）

　　　＝（α1−α2）／（α1−α3）

が定まる．

　このことをＣに移して考えると，Ｃの変曲点のひとつからＣに４本の接線が引ける（このうちの１本は変曲点における接線であり，ほかに３本の接線が得られる）．この３つの接線の接点α'1，α'2，α'3を結ぶ直線Ｌ’が定まる．Ｌ’は変曲点での接線との交点∞’をもち，これらＬ’上の４点の座標から定まる非調和比は最初のλと一致する不変量なのである．（したがって，２つの楕円曲線は射影変換で移り合うなら，両者のλは一致する．）

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