離散コーシー分布
ｆ（ｘ）＝Ｃ・１／（１＋ｎ^2） （－∞＜ｎ＜∞）
について考えてみますが，
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）
＝π（１＋ｅｘｐ（－２π））／（１－ｅｘｐ（－２π））
＝π／ｔａｎｈ（π）
より，
Ｃ＝ｔａｎｈ（π）／π
となります．すなわち，連続コーシー分布の１／πがｔａｎｈ（π）／πに変わった形をしているというわけです．
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）
や
Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^2＝π^2／（ｓｉｎ（πａ））^2
α＝１／２→ Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋１／２）^2＝π^2＝６ζ(2)
はパーセバルの等式の応用として得られる公式で，とくに
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）
Σ(-∞,∞)（－１）^n／（１＋ｎ^2）＝π／ｓｉｎｈ（π）
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）^2＝π／２（ｅｘｐ（４π）＋４πｅｘｐ（２π）－１）／（ｅｘｐ（２π）－１）^2
は，
Σ(1,∞)１／ｎ^2＝π^2／６＝ζ(2)
Σ(1,∞)１／ｎ^4＝π^4／９０＝ζ(4)
のようにゼータ関数の値を直接表すものではありませんが，同様の世界に属していて，ζの香りが漂っているように思われるとコメントされています．
［参］加藤和也・黒川信重・斉藤毅「数論Ⅰ，Fermatの夢と類体論」岩波書店
この結果をさらに一般化すると
Σ(-∞,∞)１／（（α／２π）^2＋ｎ^2）＝π（２π／α）／ｔａｎｈ（α／２）
α＝２π→Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）
α＝π→ Σ(-∞,∞)１／（１／４＋ｎ^2）＝２π／ｔａｎｈ（π／２）
を得ることができます．これらは双曲正接関数との変換式になっているというわけです．
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【１】これまでのおさらいから
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page175.htm
において，杉岡幹生氏は一般に
Σ(1,∞)１／ｎ^k（１＋ｎ^2）
はｋが偶数のとき明示的に求められるが，奇数のときは関数を閉じた形に表せないだろうと述べている．
また，
Σ(1,∞)１／ｎ^k（１＋ｎ^2）
の変数ｎを奇数だけにすると
Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）^k（１＋（２ｎ－１）^2）は
となるが，
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page183.htm
では
Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）^k（１＋（２ｎ－１）^2）
はｋが偶数のとき明示的に求められるが，奇数のときは関数を閉じた形に表せないだろうと述べている．すなわち，ζの奇偶性に対応することを主張しているのである．
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【２】その後の進展
杉岡氏は，その後
Σ(1,∞)(-1)^(n-1)（２ｎ－１）／（１＋（２ｎ－１）^2）＝π／２・ｓｉｎｈ（π／２）／ｓｉｎｈ（π）
Σ(1,∞)(-1)^(n-1)／（１＋（３ｎ）^2）＝１／２－π／３・｛ｅｘｐ（π）＋ｅｘｐ（π／３）＋ｅｘａ（５π／３）｝／｛ｅｘｐ（２π）－１｝
など，多数の不思議な公式を導出しています．その導出法については
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page197.htm
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page198.htm
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page199.htm
などをご覧ください．
既存の公式からは導出しにくい公式と思われたので，分厚い公式集
Gradshteryn, Ryzhik "Table of integrals, series and products", Academic press
新数学公式集，丸善
などを調べてみたのですが，ここにに掲げたような公式を探し出すことはできませんでした．解析家・杉岡の面目躍如といったところです．
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