■ニュートン数とハドヴィガー数(その1)

 単位球に内接する正20面体の稜の長さは,

  √(4−cosec^2(π/5))=1.0514・・・

であり,1つの球は正20面体の頂点において,12個の他の球と接触することができます.一般にn次元ユークリッド空間において,1つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数(kissing number)あるいは接触数(contact number)と呼ばれています.

 n次元ユークリッド空間において,1つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく,5次元以上の高次元については,高度に対称的な格子状配置になっている8次元(240個)と24次元(196560個)の場合を除いて未解決であり,現在,正確な値が知られているのは,τ1=2,τ2=6,τ3=12,τ4=24,τ8=240,τ24=196560の5つだけなのです(τ4=24は2003年,ロシアの数学者ミュージンにより証明された).

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【1】ニュートン数

 ニュートン数を,球に限らず一般の図形Sに接することができるSと合同な図形の最大数と定義して,ニュートン数を求めてみると,

   平面図形      ニュートン数

  正三角形         12

  正方形           8

  正n角形(≧5)      6

  ルーローの三角形      7

  定幅図形         ≦7

  平面充填可能な凸板   ≦21

 30°30°120°の角をもつ三角形のニュートン数は21ですが,この三角形は正三角形格子(3,6)の各面を3個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様(麻の葉文様)です.日本では古くから障子や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから,ご存じの方も多いと思います.

 円以外の凸平面図形に対するニュートン数の研究は,フェイェシュ・トートにより始められ,

  N(S)≦(4+2π)D(S)/W(S)+2+W(S)/D(S)   (D:diameter,W:width)

が与えられています.また,

  N(S)≧τd

が成り立つことが証明されています.すなわち,球が最も密集を好まない.

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【2】ハドヴィガー数(平行移動の接吻数)

 ハドヴィガー数は,平行移動で一般の図形Sに接することができるSと合同な図形の最大数と定義されます.ハドヴィガー数については

  d(d+1)≦H(S)≦3^d−1

が成り立ちます.

   立体図形      ハドヴィゲール数

  正四面体         18

  立方体          26

 d立方体ではH(S)=3^d−1ですが,

{3,3}(101)

{3,3,3}(1001)

{3,3,3,3}(10001)

{3,3,3,3,3}(100001)

の双対ではd(d+1)が示されます.

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