■sinπ/5とcosπ/7 (その12)

【5】cos(2π/7)

 θ=2π/7,cosθ=xとおくと

  7θ=2π,4θ=2π−3θ

より,

  cos4θ=cos3θあるいはsin4θ=−sin3θ

 前者は4次方程式

  8cos^4θ−8cos^2θ+1=4cos^3θ−3cosθ

後者は

  8sinθcos^3θ−4sinθcosθ=4sin^3θ−3sinθ

  8cos^3θ−4cosθ=4sin^2θ−3

  8cos^3θ−4cosθ=−4cos^2θ+1

より3次方程式:8x^3+4x^2−4x−1=0に帰着するというわけである.

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【6】cos(2π/17)

 x=cos(2π/n),n=2m+1のとき,

  cos(m+1)θ=cosmθとsin(m+1)θ=−sinmθ

において,後者の方が方程式の次数が低く,m次方程式となる.

  sin9θ=−sin8θ

より,8次方程式

  256x^8−448x^6+240x^4−40x^2+1=−(128x^7−192x^5+80x^3−8x)

が得られたが,Mathematicaでは数値解x=cos(2π/17)=0.932472しか求めることができず,+−×÷√の演算の組み合わせの形の解析解にはならなかった.

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