３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，
Ｓ^3／Ｖ^2≧３６π＝１１３．１０
が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．
それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？
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【１】メディアル多面体
（Ｑ）等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？
（Ａ）答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません．
フェイェシュ・トートの「配置の問題−平面・球面・空間における−」みすず書房にはｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものはアルキメデスの反プリズムとあったと記憶しているのですが，マイケル・ゴールドバーグの論文：
M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)
には四角形４枚，五角形４枚からなるメディアル多面体（４^4５^4）が極値を与えることが紹介されています．
等周比
正八面体 １８７．０６
六角柱 １８７．０６
歪重角錐 １８１．５５
４^4５^4 １８０．２３
Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１７７．４５
ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．一方，３角形多面体に関しては
Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）（３ｔａｎ^2（ωf）−１）
同様にｆ＝２０も未解決のまま残っていますが，五角形１２枚，六角形８枚からなるメディアル多面体（５^12６^8）が極値を与えることが紹介されています．
等周比
正二十面体 １３６．４６
５^12６^8 １３３．３１
これらのことからゴールドバーグは最小値はメディアル多面体（どの面も［６−１２／ｆ］角形または［６−１２／ｆ］＋１角形）のとき達成されると予想しました．ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．
［補］ｆ＝１０のとき，等周比の最小値はねじれ重角錐台（４^8４^2：シリコンフラーレン），ｆ＝３２では切頂２０面体（サッカーボール），ｆ＝４２では切稜１２面体により達成される．
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【２】ゴールドバーグの１４面体
１４面体というと，重角錐台型（４^12６^2）やねじれ重角錐台型（５^12６^2）も考えられます．ねじれ重角錐台型はケルビンの１４面体と区別するために「ゴールドバーグの１４面体」と呼ばれています．
五角形面 平均会合面数 空間分割
α−１４面体（４^6６^8） なし ５．１４３ 可
β−１４面体（４^2５^8６^4） あり ５．１４３ 可
重角錐台 （４^12６^2） なし ４．２８６ 不可
ねじれ重角錐台 （５^12６^2） あり ５．１４３ 不可
ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．ｆ＝１４のときは５^12６^2型のねじれ重角錐台（truncated double skew pyramid）となります．
もし，ゴールドバーグの予想が正しければ，ｆ＝１４のときの等周比の最小値はケルビンの１４面体（４^6６^8）ではなく，ゴールドバーグの１４面体（５^12６^2）によって達成されることになります．
等周比
４^6６^8 １５０．１２３
５^12６^2 １４３．８９
ゴールドバーグの１４面体はspace fillerではありませんが，後述するウィア・フェランの１４面体のところにでてくる多面体です．
［補］ｆ面をもつ多面体の個数
ｆ＝４ １
ｆ＝５ ２
ｆ＝６ ７
ｆ＝７ ３４
ｆ＝８ ２５７
ｆ＝９ ２６０６
ｆ＝１０ ３２３００
ｆ＝１１ ４４０５６４
［補］ｆ面をもつ３稜頂点多面体の個数
ｆ＝４ １
ｆ＝５ １
ｆ＝６ ２
ｆ＝７ ５
ｆ＝８ １４
ｆ＝９ ５０
ｆ＝１０ ２３３
ｆ＝１２ ７６１６
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【３】ケルビンの１４面体
空間分割のひとつの例として石鹸の泡によるものがあり，昔から物理学者の研究の対象になってきた．石鹸の泡による空間分割に結びつく物理的作用はいうまでもなく表面積を極小化しようとする力（表面張力）であるから，ここでは石鹸膜を作る素材の総量を一定なものと仮定してみよう．最小の素材の下で得られるべき利得を最大にすることは商業上重要というだけでなく，物理学分野でも合目的的な構築原理である．
等周定数（Ｓ^3／Ｖ^2）を用いて体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では
3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝3√（１０８√２）＝５．３４５・・・
切頂８面体型分割では
3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝３（１＋√１２）／４・3√４＝５．３１４・・・
と後者の方が約０．５％少なくなる．
このようにして，１８８７年，英国の物理学者，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は石鹸の泡による空間分割の力学的研究から切頂八面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見した．
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【４】ウィリアムズの１４面体
ｆ＝１４の単一多面体による空間分割を考えると，まず，切頂八面体とその変形，すなわち８個の六角形と６個の四角形の面をもつものがあげられる（４^6６^8）．これは１８８７年にケルビンが石鹸の泡による空間分割の力学的研究から誘導したものである．然るに，ケルビンの１４面体はまったく５角形の面をもたず，理論と実際の間に大きな乖離があることになる．
ケルビンの１４面体（α１４面体）は長い間空間を隙間なく分割しうる単一の多面体で，空間分割の局所条件を満足する唯一のものであると信じられてきた．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することである．ところが，曲面の存在を許せば空間分割の局所条件を満たしながら空間を隙間なく充填しうる１４面体がもう１種類あることを１９６８年になってウィリアムズが報告している．この間，実に１世紀近い年月の隔たりがある．
この１４面体（β１４面体）は８個の五角形，４個の六角形，２個の四角形の面をもつ（４^2５^8６^4）．β１４面体はα１４面体の２つの［４，６，６］型頂点を連結した屋根状部分を９０°回転させて［５，５，５］型頂点に組み替えたものと考えることができる．幾何学的性質の単純さはα１４面体に劣るが，α１４面体はまったく５角形の面をもたないから，β１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができるだろう．
また，α型でもβ型でも空間分割の局所条件を満足し，位相幾何学的な面の数は１４になる．この結論は重要である．空間分割の局所条件を満足させる多面体は１４面体であり，それ以外にこの条件を満足する単一多面体は存在しないことを明確に示すからである．たとえば，１２面体だけで空間分割の局所条件を満足させながら空間を隙間なく分割することは不可能なのである．
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【５】ウィア・フェランの極小曲面
同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何だろうかという問いに対して，ケルビンの１４面体（４^6６^8）は１００年以上もの間，最も効率よく空間を充填する多面体として最善の答であったが，本当に表面積を最小化する多面体であるのかというと否定的であって，実はこの問題はいまでも未解決問題となっている．
もし，体積が同じで形の異なる２種類の多面体を組み合わせてみたら，ケルビン問題の反例がみつかるのでは・・・．そして，１９９４年，アイルランドの物性物理学者，ウィアは合金構造をヒントにもっと面積が小さくなる解を発見した．それは同じ体積の２種類の多面体による空間充填であって，不等辺五角形の面をもつ１２面体（５角形１２枚）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚：ゴールドバーグの１４面体）が１：３の割合で並ぶものである．
もちろん，この１２面体は正十二面体ではないし１４面体もケルビンの１４面体ではない．そして，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4）の場合と同様に辺や面には微妙な曲がりが含まれている．また，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体よりも多くの五角形の面をもつという特徴もあげられる．
そしてこれらの多面体の表面積はケルビンの１４面体よりも０．３％小さいことが判明したのである．曲面の高精度計算がコンピュータでできるようになったことがこの新発見に繋がったのであるが，辺や面を微妙に調節することによって空間充填が可能となる．
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