■ピタゴラスの定理と・・・（その１）
正多面体はピタゴラス学派には神秘的完全性の象徴のように見え，ギリシャの自然哲学者はこれらを５元素と対応させています．天文学者のケプラーはその著書「宇宙の神秘」において，幾何学の２つの至宝と称してピタゴラスの定理と黄金比をあげています．ピタゴラスの定理からは立方体，正四面体，正八面体，黄金比からは正十二面体と正二十面体が作られると考えてそのように述べているのです．
ところで，
［参］小林吹代「ピタゴラス数を生み出す行列のはなし」ベレ出版
にピタゴラス三角形ばかりを生成し，しかもすべて網羅する行列
［−１，−２，２］
Ｐ＝［−２，−１，２］
［−２，−２，３］
が紹介されています．驚くべきことに行列Ｐが発見されたのは５０年くらい前のことなのだそうです．
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【１】ピタゴラス三角形
直角三角形では，斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．
４０００年も前の紀元前二千年頃に，エジプトでは（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７）などのピタゴラス三角形が知られていたことがパピルスに記録されています．また，同じ頃のバビロニアの粘土板プリンプトン３２２にはピタゴラスの定理が成り立つような３数の組が１５組刻まれているのですが，その中のきわめつけが（１２７０９，１３５００，１８５４１）です．この数値は試行錯誤で得られるような代物ではなく，バビロニア人たちはすでに一般的なピタゴラスの定理を知っていたのではないかと想像されます．
ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として
ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）
が形も簡単で広く用いられています．
｛（ｎ^2−１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2
（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2
のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式
（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2
では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．
［補］（ａ，ｂ，ｃ）＝（ｍ^2−ｎ^2，ｍｎ，ｍ^2＋ｎ^2）において，
ｔ＝ｎ／ｍ，ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）
とおくと，ピタゴラス数は方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１に有理数解があるかどうかを考える問題に対応します．
原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（−１，０）です．この点を通る直線ｙ＝ｔ（ｘ＋１）と単位円との交点は，代入して因数分解すれば
ｘ^2＋ｔ^2（ｘ＋１）^2＝１
（ｔ^2＋１）ｘ^2＋２ｔ^2ｘ＋ｔ^2−１＝０
より
ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
ｙ＝ｔ（ｘ＋１）＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）
と表すことができます．これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためには，ｔが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点はｔの関数
ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝±（２ｔ）／（１＋ｔ^2）
で表すことができます．
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【２】ピタゴラス三角形の生成行列
［−１，−２，２］
Ｐ＝［−２，−１，２］
［−２，−２，３］
とします．この行列の逆行列Ｐ^-1はＰ自身で，
Ｐ^-1＝Ｐ，｜Ｐ｜＝−１
になっています．
ここでａを奇数，ｂを偶数，ｃを奇数と約束し，（ａ，ｂ，ｃ）＝（４，３，５）ではなく，（３，４，５）を選ぶことにします．そして（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５）’を第１象限上のベクトルとみると，Ａ＝（−３，４，５）’は第２象限，Ｂ＝（−３，−４，５）’は第３象限，Ｃ＝（３，−４，５）’は第４象限上のベクトルとみなすことができます．このとき，
ＰＡ＝（５，１２，１３）’
ＰＢ＝（２１，２０，２９）’
ＰＣ＝（１５，８，１７）’
はすべてピタゴラス三角形になります．
変換後のピタゴラス三角形は変換前より大きくなりますから，最小の既約ピタゴラス三角形として（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５）を選ぶとすべての既約ピタゴラス三角形をもれなくつくり，しかも既約ピタゴラス三角形以外はつくらない変換になっていることが証明されます．
なお，この変換の裏には
［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］
［ｎ’］ ［０，−１］［ｎ］
が潜んでいます．
Ｒ＝［１，−２］
［０，−１］
とおくと，
Ｒ^-1＝Ｒ，｜Ｒ｜＝−１
を満たします．
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