対称群の列挙の歴史は１９世紀後半，クライン（ドイツ）とリー（ノルウェー）に始まる．クラインは離散群を，リーは連続群（リー群）を取り扱った．リーやキリング，アルティン，カルタン，ワイルらによる連続群の分類は２０世紀数学の大きな業績であるが，最終的にルート系の分類に帰着されるのである．
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【１】リー型の単純群
無限個ある．Ａ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，さらにまた１６種類に細分することができる．
ドイツのキリングとフランスのカルタンのよる単純リー群（詳しくは複素コンパクト型単純リー群，古典線形群はみな含まれる）の分類の成功が大きな影響を与えた．既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれる．
４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で総計１６系列に細分される．
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【２】鏡映群（コクセター群）
いくつかの鏡映変換により生成される直交変換群を鏡映群という．鏡映群は数学の様々に分野で広く現れる重要な研究対象である．無限の鏡映群は基本的には直交群しかないが，有限の鏡映群は
Ａn（ｎ≧１），Ｂn（ｎ≧２），Ｄn（ｎ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｈ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）
に分類される．
下付きの指数はそれが働く空間の次元である．Ａnはｎ次元正単体の対称性の群と解釈することができる．Ｂnはｎ次元立方体（正８面体）の対称性の群であり，位数は２^nｎ！である．ＤnはＢnに対応する群の指数２の部分群に対応している．Ｈ3は正２０面体の対称性の群に対応し，Ｉ2(ｐ)は正２面体群Ｄpに対応している．Ｈ4とＦ4はそれぞれ４次元の正多胞体（正２４胞体，正６００胞体）に対応している．
ここにあげられた群はＨ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）を除いて，すべて結晶群である．なお，線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論である．そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立つ．
コクセターの関心の的は鏡映によって生成される対称群であったが，一般のｎ次元空間における等長変換（平行移動・回転運動）は高々ｎ＋１個の鏡映の積として表すことができる．
リー群とコクセター群との関連は，カッツとムーディーによる独立した仕事を通じて興味深い進展をみせました．彼らはコクセター群からまったく新しいリー代数（現在カッツ・ムーディー・リー代数と呼ばれる）とリー群を生成できることを示したのです．
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【３】散在型単純群
代数群などの分野からは発見され得ないし，古典群，交代群のように無限系列にはいっていないという意味で，散在型単純群と呼ばれる単純群が２６個ある．
一番小さいのが，１１個の文字の上の置換群であるマシュー群Ｍ11（位数：７９２０），一番大きいものが，モンスター（位数：２^46・３^20・５^9・７^6・１１^2・１３^3・１７・１９・２３・２９・２１・４１・４７・５９・７１）で，モンスターの位数はなんと５４桁にものぼる．モンスターの発見と構成は２６個の散在型単純群の中でも特異な位置を占めていて，２６個の散在群のうち，２０個がモンスターの部分群として現れるのである．
モンスターの発見とこれ以外の例外型単純群は存在しないという証明により，有限単純群の分類の完成したのだが，ムーンシャイン予想という予期せぬものを生み出した．
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【４】ムーンシャイン予想
１９世紀の後半，デデキントとクラインは独立に保型関数
ｊ（ａｚ＋ｂ／ｃｚ＋ｄ）＝ｊ（ｚ）
を構成しました．ｊ（ｚ）は古典的なＳＬ（２，Ｚ）不変な保型関数です．
ここで，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）とおくと，
ｊ（ｚ）＝ｊ（ｑ）＝Σｃnｑ^n
＝１／ｑ＋７４４＋１９６８８４ｑ＋２１４９３７６０ｑ^2＋８６４２９９９７０ｑ^3＋・・・
と展開されます．
１９６８８３次元のモンスター群は散在型群のなかで最も巨大で神秘的で魅力的であることから，コンウェイがモンスター群と名付けています．モンスターの既約表現の次数ｄnと係数ｃnを小さい方から数個あげると
ｄ0＝１
ｄ1＝１９６８８３ ｃ1＝１９６８８４
ｄ2＝２１２９６８７６ ｃ2＝２１４９３７６０
ｄ3＝８４２６０９３２６ ｃ3＝８６４２９９９７０
このｑ展開に現れる係数１９６８８４とモンスターの既約表現の最小次数１９６８８３がほとんど等しいことに注目すると，ｑ，ｑ^2，ｑ^3等の係数は
ｃ1＝ｄ0＋ｄ1
ｃ2＝ｄ0＋ｄ1＋ｄ2
ｃ3＝２ｄ0＋２ｄ1＋ｄ2＋ｄ3
のようにモンスターの既約表現の簡単な線形結合となっていることを見いだされました．これは単なる偶然の一致なのでしょうか？
ムーンシャイン予想の出発点の出発点であるマッカイ・トンプソン予想（モンスター群と楕円モジュラー関数のと関連性），コンウェイ・ノートン予想（ムーンシャイン予想呼ばれる命題に発展させた）には，このような不思議な事実がたくさん収集されています．しかし，後にボーチャーズが，現代物理学の弦理論にその原点をもつ頂点作用素代数を用いることによって，これは単なる偶然の一致ではなく，そこに何か真実が隠されていることをつきとめます．
さらに，ボーチャーズは一般化されたカッツ・ムーディー・リー代数（数学と数理物理学のさまざまな分野で応用されている）を導入して，マクドナルド恒等式を導いた論法を適用することにより，分母公式は
Ｊ（ｐ）−Ｊ（ｑ）＝ｐ^(ｰ1)Π（１−ｐ^mｑ^n）^c(mn)
となることを示しました．この等式は１９世紀のデデキントのイータ関数の変形のようでもあり，ヤコビの３重積公式にも結びついています．
ボーチャーズは８年にわたってムーンシャイン予想の証明に取り組み，１９９２年にモンスター群のムーンシャイン予想を証明しました．ボーチャーズはその功績により１９９８年フィールズ賞を受賞するのですが，楕円曲線，モンスター群，ひも理論の関連性が明らかにされたのです．これにより，ムーンシャイン予想の一応の解決となったわけですが，ムーンシャイン予想は保型関数論のように古典的なものでもあり，また，物理学の弦理論のように新しいものでもあったというわけです．
リー型の単純群に比べると，散在型単純群は例外的なものにみえるのですが，ミステリアスなムーンシャイン現象を知ると，散在型単純群にも深い存在理由がありそうです．しかし，疑問は残ったままであり，今後は有限単純群の分類論の明瞭化・簡明化とともに，この神秘的現象の解明が研究課題とされています．
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