正ｎ角形にすべての対角線を引いたときにできる対角線の交点数Ｉと断片数Ｒの公式を掲げる．
Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）
Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）
正ｎ角形の対角線の交点数の公式には煩雑な場合分けと例外処理が必要となるが，正２１０角形になって初めて現れる例外処置が存在するのである．今回のコラムでは，ｎ＝４〜７２における交点数Ｉと断片数Ｒの計算結果を表示する．計算自体は簡単で，Ｉ＜Ｒが成り立つこともわかるだろう．
［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社
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【１】計算結果
ｎ Ｉ Ｒ
4 1 4
5 5 11
6 13 24
7 35 50
8 49 80
9 126 154
10 161 220
11 330 375
12 301 444
13 715 781
14 757 952
15 1365 1456
16 1377 1696
17 2380 2500
18 1837 2466
19 3876 4029
20 3841 4500
21 5985 6175
22 5941 6820
23 8855 9086
24 7297 9024
25 12650 12926
26 12481 13988
27 17550 17875
28 17249 19180
29 23751 24129
30 16801 21480
31 31465 31900
32 30913 33856
33 40920 41416
34 40257 43792
35 52360 52921
36 46981 52956
37 66045 66675
38 64981 69996
39 82251 82954
40 80881 86800
41 101270 102050
42 84841 97734
43 123410 124271
44 121441 129404
45 148995 149941
46 146741 155848
47 178365 179400
48 164161 179232
49 211876 213004
50 208801 220600
51 249900 251125
52 246273 259636
53 292825 294151
54 272485 293976
55 341055 342486
56 336337 353136
57 395010 396550
58 389761 408436
59 455126 456779
60 405181 443460
61 521855 523625
62 515221 538160
63 595665 597556
64 588161 613504
65 677040 679056
66 639013 679074
67 766480 768625
68 757249 787780
69 864501 866779
70 854421 887740
71 971635 974050
72 934561 981216
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【２】計算プログラム
1000 PFILE$="scrn:"
1010 OPEN PFILE$ FOR OUTPUT AS #1
1020 '
1030 FOR N=4 TO 72
1040 GOSUB *I
1050 GOSUB *R
1060 PRINT #1, N,I,R
1070 NEXT N
1080 CLOSE:END
1090 '
1100 *I:
1110 I1=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)/24
1120 I2=(-5*N*N*N+45*N*N-70*N+24)/24
1130 I4=-3*N/2
1140 I6=(-45*N*N+262*N)/6
1150 I12=42*N
1160 I18=60*N
1170 I24=35*N
1180 I30=-38*N
1190 I42=-82*N
1200 I60=-330*N
1210 I84=-144*N
1220 I90=-96*N
1230 I120=-144*N
1240 I210=-96*N
1250 '
1260 S=I1
1270 IF (N MOD 2) =0 THEN S=S+I2
1280 IF (N MOD 4) =0 THEN S=S+I4
1290 IF (N MOD 6) =0 THEN S=S+I6
1300 IF (N MOD 12)=0 THEN S=S+I12
1310 IF (N MOD 18)=0 THEN S=S+I18
1320 IF (N MOD 24)=0 THEN S=S+I24
1330 IF (N MOD 30)=0 THEN S=S+I30
1340 IF (N MOD 42)=0 THEN S=S+I42
1350 IF (N MOD 60)=0 THEN S=S+I60
1360 IF (N MOD 84)=0 THEN S=S+I84
1370 IF (N MOD 90)=0 THEN S=S+I90
1380 IF (N MOD 120)=0 THEN S=S+I120
1390 IF (N MOD 210)=0 THEN S=S+I210
1400 I=S
1410 RETURN
1420 '
1430 *R:
1440 R1=(N-1)*(N-2)*(N*N-3*N+12)/24
1450 R2=(-5*N*N*N+42*N*N-40*N-48)/48
1460 R4=-3*N/4
1470 R6=(-53*N*N+310*N)/12
1480 R12=49*N/2
1490 R18=32*N
1500 R24=19*N
1510 R30=-36*N
1520 R42=-50*N
1530 R60=-190*N
1540 R84=-78*N
1550 R90=-48*N
1560 R120=-78*N
1570 R210=-48*N
1580 '
1590 S=R1
1600 IF (N MOD 2) =0 THEN S=S+R2
1610 IF (N MOD 4) =0 THEN S=S+R4
1620 IF (N MOD 6) =0 THEN S=S+R6
1630 IF (N MOD 12)=0 THEN S=S+R12
1640 IF (N MOD 18)=0 THEN S=S+R18
1650 IF (N MOD 24)=0 THEN S=S+R24
1660 IF (N MOD 30)=0 THEN S=S+R30
1670 IF (N MOD 42)=0 THEN S=S+R42
1680 IF (N MOD 60)=0 THEN S=S+R60
1690 IF (N MOD 84)=0 THEN S=S+R84
1700 IF (N MOD 90)=0 THEN S=S+R90
1710 IF (N MOD 120)=0 THEN S=S+R120
1720 IF (N MOD 210)=0 THEN S=S+R210
1730 R=S
1740 RETURN
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