有限鏡映群−多面体−コクセターグラフ

　無限鏡映群−結晶・格子−拡張コクセターグラフ

である．（その１２０）〜（その１２３）で，後者のボロノイ細胞を決定した．

　高次元空間でいくつかの超平面による鏡像で生ずる有限群（超球面上の単体）もすべて決定されている．たとえば，

［１］４次元有限群

α4：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝１／√６，ａ4＝１／√１０

β4：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝１／√６，ａ4＝１／√２

γ4：ａ1＝１，ａ2＝１，ａ3＝１，ａ4＝１

Ｆ4：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝√２／３，ａ4＝√２

［２］８次元有限群

α8：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝１／√６，ａ4＝１／√１０，ａ5＝１／√１５，ａ6＝１／√２１，ａ7＝１／√２８，ａ8＝１／６

β8：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝１／√６，ａ4＝１／√１０，ａ5＝１／√１５，ａ6＝１／√２１，ａ7＝１／√２８，ａ8＝１／２

　有限群と無限離散群の座標はまったく異なるが，前者はどうやって計算すればよいのだろうか？

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【１】αn

　結晶・格子では

［１］−ｘ0＋ｘn＝１

［２］ｘ0＝ｘ1

［３］ｘ1＝ｘ2

［４］ｘ2＝ｘ3

［５］ｘn-1＝ｘn

であったが，

［１］ｘ0＋ｘ1＋・・・＋ｘn-1＋ｘn＝１

とする．→中心は（１／（ｎ＋１），・・・）

［２］を外すと

　ｘ0＝０

　ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝・・・＝ｘn-1＝ｘn＝１／ｎ

［３］を外すと

　ｘ0＝ｘ1＝０

　ｘ2＝ｘ3＝・・・＝ｘn-1＝ｘn＝１／（ｎ−１）

［５］を外すと

　ｘ0＝ｘ1＝・・・＝ｘn-1＝０

　ｘn＝１

となって，幾何学的な意味をもたせることができる．

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　これはαnを作るのに，全体を１次元あげて，ｎ＋１次元の単位点（１，０^n）ｎ＋１個から生成される単体をとることに相当している．リスケーリングすると

α4：ａ1＝１，ａ2＝１／√３，ａ3＝１／√６，ａ4＝１／√１０

などが得られる．

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