４次元正多胞体の境界面をｐ，頂点に集まる面数をｑ，辺に集まる胞数をｒとすると，

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

　すなわち，４次元の６個の正多胞体とは，正５胞体（胞が４面体で各辺に３つの４面体が集まる），正８胞体（胞が立方体で各辺に３つの立方体が集まる），正１６胞体（胞が４面体で各辺に３つの４面体が集まる），正２４胞体（胞が８面体で各辺に４つの８面体が集まる），正１２０胞体（胞が１２面体で各辺に３つの１２面体が集まる），正６００胞体（胞が４面体で各辺に５つの４面体が集まる）である．なお，頂点に集まる胞数は以下の通りである．

　　　　　　境界多面体　頂点に集まる胞　シュレーフリ記号

５胞体　　　正４面体　　　　４　　　　　｛３，３，３｝

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　｛４，３，３｝

１６胞体　　正４面体　　　　８　　　　　｛３，３，４｝

２４胞体　　正８面体　　　　６　　　　　｛３，４，３｝

１２０胞体　正１２面体　　　４　　　　　｛５，３，３｝

６００胞体　正４面体　　　２０　　　　　｛３，５，５｝

　なかでも正１２０胞体は中川宏さん一番のお気に入りの模型であるが，その理由は境界多面体が（正四面体や立方体ではなく）正１２面体であるからである．今回のコラムでは，中川宏さんによる正２４胞体の木工製作を取り上げるが，正２４胞体の境界多面体は正八面体である．

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【１】４次元正２４胞体の３次元投影（胞心模型）

　正八面体の各面上に扁平な８面体を８つ貼り付けて，正方形面に対角線が２本ずつ入った立方八面体を作る．その正方形面を正八面体が対角線をもった正方形に退化したものと考えて，さらに裏側も考えれば９＋６＋９＝２４個の正八面体状胞体が集まった正２４胞体になる（９ピース）．

　ところで，コラム「カンタベリー・パズルの木工製作（その２）」で紹介した適当な稜が蝶番でつながれた８つの立方体の輪は立方体（２×２×２）に折りたたむことができる．この折りたたみは輪にはならないものの繰り返してできるので，表の２４面を裏返すと裏の２４面が現れてくることを利用して観光地の写真を貼り付けてあるおみやげグッズもあるという．最も単純なリバーシブル多面体である．

　４次元正２４胞体の３次元投影（胞心模型）も同様の変身立体である．以下，連続回転する様子を掲げる．

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【２】４次元正５胞体の３次元投影（点心模型）

　正四面体を重心で４分割した四面体４つにより，正四面体を作る．その正四面体全体を包む正四面体を考えれば，５つの正四面体状胞体よりなる正５胞体になる（４ピース）．

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