■基本単体の二面角(その116)

 格子に含まれるベクトルで与えられたノルム(長さの2乗)のものがいくつあるかによって,テータ関数が決まります.たとえば,六角格子ではノルム0のベクトルは1個,ノルム1のベクトル6個,ノルム3のベクトル6個,ノルム4のベクトル6個,ノルム7のベクトル12個,・・・と数えていけば,この格子のテータ関数Θ(z)は

  Θ(z) =1+6q+6q^3+6q^4+12q^7+・・・

     =Σaq^k   q=exp(2πiz)

と定義されます.

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【1】Z^n格子

  {θ3(z)}^n

【2】FCC格子のテータ関数

  ΘFCC =1/2・{θ3^3+θ4^3}

=1+12q^2+6q^4+24q^6+・・・

【3】ダイアモンド格子のテータ関数

  1/2(θ2^3+θ3^3+θ4^3)

=1+4q^3/4+12q^2+12q^11/4+6q^4+・・・

【4】HCP格子のテータ関数

 1+12q+6q^2+2q^8/3+・・・

【5】BCC格子のテータ関数

  (θ2^3(4z)+θ3^3(4z))

=1+8q^3+6q^4+12q^8+・・・

【6】Dn格子のテータ関数

  1/2(θ3^n(z)+θ4^n(z))

とくにD4格子では

  1/2(θ3^4(z)+θ4^4(z))=θ2^4(2z)+θ3^4(2z)

=1+8q^3+6q^4+12q^8+・・・

【7】Dn+格子のテータ関数

  1/2(θ2^n(z)+θ3^n(z)+θ4^n(z))

とくにD8+格子=E8

【8】Dn格子の双対のテータ関数

  θ2^n(z)+θ3^n(z)

n=3のとき=BCC格子,n=4のときD4格子

【9】E7格子のテータ関数

  θ3^7(2z)+7θ3^3(2z)θ2^4(2z)

=1+126q^2+456q^4+2072q^6+・・・

【10】E6格子のテータ関数

 1+72q^2+270q^4+720q^6+・・・

【11】K12格子のテータ関数

 1+756q^4+4032q^6+20412q^8+・・・

【12】Λ16格子のテータ関数

 1+4320q^4+61440q^6+・・・

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