■デューラーの八面体の設計(その25)

  L^2≧4πS     (2次元等周不等式)

  S^3≧36πV^2   (3次元等周不等式)

をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう.

 半径rのn次元超球の体積はVnr^n,表面積はnVnr^(n-1)となりますから,等周比を無次元化するために,

  n次元等周比=表面積^n/体積^(n-1)

と定義すると,

  n次元等周比≧n^nVn=n^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)(=Cn)

を得ることができます.等号は超球のときに限ります.

 この証明はVn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)がn次元単位球の体積であることが理解できれば簡単です.n次元等周比(Cn)において,とくに,n=2のときとn=3のときについては,

  C2=4π

  C3=36π

すなわち,

  L^2≧4πS

  S^3≧36πV^2

になることがわかります.

 以下,

  C4=2^7π^2

  C5=8/3*5^4π^2

  C6=6^5π^3

  ・・・・・・・

となりますが,等周比が有理数(整数)×πの形となるのは,2次元・3次元だけのようです.

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