■デューラーの八面体の設計(その19)

 「切頂14面体」,「切稜18面体」においてもS^3/V^2が最小値をとる条件と内接球をもつ条件とが一致しましたが,このことは正多面体の切頂多面体,切稜多面体についても一般的にいえることなのかもしれません.確かめたわけではありませんが・・・.

 私が設計した内接球をもつデューラーの八面体(佐藤モデル)は榎本モデル,宮本モデルよりS^3/V^2が小さい値をとるだろうか?

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【1】菱形六面体の計量

 菱形の対角線の長さを2dと2,1<d<√3とします.この菱形の鋭角をθとおくと

  tan(θ/2)=1/d → θ=2arctan(1/d)

で表されます(60°<θ<90°).

 また,菱形の鋭角が3つ集まって構成される頂点を原点として,この菱面格子の3つの基本ベクトルを

  a↑=(d,1,0)

  b↑=(d,−1,0)

  c↑=(x,0,z),x^2+z^2=d^2+1

とおきます.

 次に,xとzをdで表してみることにしましょう.

  a↑・c↑=(d^2+1)cosθ=dx

より

  x=(d^2+1)/dcosθ

   =(d^2+1)/dcos(2arctan(1/d))

   =(d^2−1)/d

  z^2=d^2+1−x^2=3−1/d^2

 菱形六面体の8頂点は

  (0,0,0),(2d+x,0,z)

  (d,1,0),(d,−1,0),(2d,0,0)

  (x,0,z),(d+x,1,z),(d+x,−1,z)

ですが,このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータdを用いて表すことができます.

 また,この中心座標は(d+x/2,0,z/2)で与えられます.

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【2】菱形六面体の切頂

 菱面体の中心の座標は(d+x/2,0,z/2)ですから,8頂点のうち6つ

  (d,1,0),(d,−1,0),(2d,0,0)

  (x,0,z),(d+x,1,z),(d+x,−1,z)

までの距離Rはすべて等しく

  R^2=(x^2+z^2)/4+1=(d^2+1)/4+1

と計算されます.すなわち,これらは半径Rの同心球面上に位置します.

 しかし,菱形の鋭角が3つ集まって構成される2つの頂点

   (0,0,0),(2d+x,0,z)

はこの球には内接しません.そこで,この頂点を切頂して同心球面上に位置するようにします.

 球との交点を,パラメータt(0<t<1)を用いて

  (td,t,0),(td,−t,0),(tx,0,tz)

とすると,tは2次方程式

  (d^2+1)t^2−(3d^2−1)t+2d^2−2=0

の解に帰着され

  t=2(d^2−1)/(d^2+1)

と計算されます.

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【3】デューラーの八面体の12頂点の座標(x’,y’,z’)

  (d,1,0),(d,−1,0),(2d,0,0)

  (x,0,z),(d+x,1,z),(d+x,−1,z)

  (td,t,0),(td,−t,0),(tx,0,tz)

  (2d+x−td,−t,z),(2d+x−td,t,z),(2d+x−tx,0,z−tz)

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