高次元空間でいくつかの超平面による鏡像で生ずる有限群（超球面上の単体）あるいは無限離散群（ユークリッド空間内の単体）はすべて決定されています．

　したがって，Ｅ8とＥ8~の基本単体の辺の長さは異なります．ここでは無限離散群を考えることにします．

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　辺の長さは

　　Ｌ（μ，ν）＝（ｃμｃνｃｏｓα（μ，ν））^-1/2

で与えられます．（１／２ではなく，−１／２であることに注意）

　　α＝π／３　→　Ｌ（μ，ν）＝（ｃμｃν／２）^-1/2

　　α＝π／４　→　Ｌ（μ，ν）＝（ｃμｃν／√２）^-1/2

　　α＝π／６　→　Ｌ（μ，ν）＝（√３ｃμｃν／２）^-1/2

　Ｅ8~では

　　ｃ1＝１，ｃ2＝２　→　Ｌ＝１

　　ｃ2＝２，ｃ3＝３　→　Ｌ＝１／√３

　　ｃ3＝３，ｃ4＝４　→　Ｌ＝１／√６

　　ｃ4＝４，ｃ5＝５　→　Ｌ＝１／√１０

　　ｃ5＝５，ｃ6＝６　→　Ｌ＝１／√１５

　　ｃ6＝４，ｃ7＝４　→　Ｌ＝１／√１２

　　ｃ7＝４，ｃ8＝２　→　Ｌ＝１／２

　Ｅ8~の最長辺の平方和は

　　１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋１／１２＋１／４＝２

となる．この√２は８次元単体のファセットとなる７次元基本単体の最長辺であるという．これを有限群（超球面上の単体）のそれと混同してはならない．

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