【１】オイラーの素数生成式

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

は，ｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，

　１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，

　３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，

　７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，

　１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，この式でこれほどたくさんの素数を作れるということは大変奇妙に感じられます．１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　また，オイラーは，２次多項式

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，ｑが素数

　　２，３，５，１１，１７，４１

のとき，０からｑ−２を代入すると

　　ｆq（０），ｆq（１），・・・，ｆq（ｑ−２）

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ−１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　しかし，素数

　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７

に対して，このことは成立しません．

　　ｆ7（１）＝９，ｆ13（１）＝１５，ｆ19（１）＝２１，ｆ23（１）＝２５，

　　ｆ29（２）＝３４，ｆ31（１）＝３３，ｆ37（１）＝３９

　これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

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