（その２）ではミンコフスキーの第１格子点定理，第２格子点定理を取り上げた．ところで，ロボット工学の分野においてはロボットアームの設計や制御，障害物回避問題などが一つの重要な研究対象になっているのだが，障害物回避動作を最適に制御するためには図形のミンコフスキー和をコントロールしなければならない．

　ミンコフスキー和Ａ＋Ｂは図形Ａを構成する点の位置ベクトルと図形Ｂを構成する点の位置ベクトルの和全体がなす図形であり，一方の図形の原点がもう一方の図形の境界上を一周するように平行移動させたときにできる和集合である．（いろいろな使い道があるものだと感心したのだが）ロボットの原点が踏み込んではならない領域を表すのに応用することができる．

　日本の国土をＡ，半径ｒの円板をＢとして，陸地の各点にこの円板を貼り付けることによって定まる領域がＡ＋Ｂである．すなわち，陸地からの距離がｒ以下の海の部分を陸地に加えた領域がミンコフスキー和Ａ＋Ｂである．今回のコラムでは，Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂの３つの面積の関係を述べたブルン・ミンコフスキーの不等式を紹介する．

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【１】ブルン・ミンコフスキーの不等式

　冒頭では平面での場合を述べたが，一般のｎ次元図形に対しても不等式

　　｜Ａ＋Ｂ｜^1/n≧｜Ａ｜^1/n＋｜Ｂ｜^1/n

が成立する（平面図形の場合はｎ＝２）．等号成立はＡとＢは相似の位置にあるか，またはＡはＢの平行移動であるときである．

　また，２つの凸図形Ｋ0，Ｋ1が与えられたとき，Ｋ0からＫ1への連続変形

　　Ｋt＝（１−ｔ）Ｋ0＋ｔＫ1　　　（０≦ｔ≦１）

においては

　　｜Ｋt｜^1/n≧（１−ｔ）｜Ｋ0｜^1/n＋ｔ｜Ｋ1｜^1/n

が成り立つ．

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【２】凸体の点対称化

　凸体Ｋを原点の周りで１８０°回転させて得られる図形を−Ｋあるいはｒｏｔ（Ｋ）で表す．Ｋに対して点対称化図形Ｋ~を

　　Ｋ~＝１／２（Ｋ＋（−Ｋ））

で定義する．図形−Ｋの原点を図形Ｋの境界に沿って動かすときのミンコフスキー和であるが，前述した−ＫからＫへの連続変形のｔ＝１／２の場合であり，図形Ｋが四角形のときＫ~は八角形，Ｋが四面体のときＫ~は立方八面体状図形になる．

　このとき，

　　｜Ｋ｜≦｜Ｋ~｜

が成り立つ（等号成立は−ＫがＫの平行移動であるとき）．

　また，Ｋが２次元図形であれば周長と直径は不変である．

　　Ｌ（Ｋ）＝Ｌ（Ｋ~），Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）

３次元図形であれば直径は不変である．

　　Ｄ（Ｋ）＝Ｄ（Ｋ~）　　（表面積は不変ではない）

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【３】マクハの不等式

　図形Ｋの内部直径とはＫ内の２点Ｐ，Ｑの距離の最大値である．外部直径とはＫの２点Ｘ，Ｙの線分の長さの最大値である．別ないい方をすればＫに住んでいる人にとっての直径が内部直径，Ｋを含む空間に住んでいる人から見た最大幅が外部直径である．

　半径Ｒの球面の場合，内部直径Ｄinは大円の半分であるからπＲ，外部直径Ｄoutは北極と南極を結ぶ線分の長さ２Ｒである．

　　Ｄin／Ｄout＝π／２

ルーローの三角形のような定幅図形でも

　　Ｄin／Ｄout＝π／２

が成り立つ．

　一般の空間図形の場合は

　　Ｄin／Ｄout≦π／２

が成り立つことが知られている．等号は定幅曲面で回転面になっているものである．

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【４】アレクサンドロフ予想

　空間内のなめらかな閉曲面Ｍの面積Ａと内部直径Ｄについて

　　Ａ／Ｄ^2＜π／２

が成り立つだろう（等号はＭが２枚の円板に退化した場合）．

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