【１】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　ｋ次元面はｎ−ｋ個のファセットの共通部分に含まれる，残りのｎ−ｊ個のファセット上のあるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj＝１

であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

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