■2に収束する分数列(その2)

 結論を先にいうと,この問題はオイラー数<n,k>に関係している.

  <n,k>=k<n−1,k>+(n−k+1)<n−1,k−1>

  <n,0>+<n,1>+・・・+<n,n>=n!

  <n,0>=0,<n,1>=1,<n,n>=1

  <n,n−k+1>=<n,k>

  <n,n−1>=2^n−n−1

 二項係数を使うと

  <n,k>=k^n−(k−1)^n(n+1,1)+(k−2)^n(n+1,2)−・・・+(−1)^k0^n(n+1,k)

=Σ(−1)^j(k−j)^n(n+1,j)

 Lkは

  Lk=<1,k>/1!+<2,k>/2!+・・・=Σ<m,k>/m!

その母関数は

  L(z)=ΣLkz^k=z(1−z)/(exp(z−1)−z)−z

より,

  Lk=kΣe^j・(−1)^k-jj^k-j-1/(k−j)!

より,

  |L1|=e−1=1.71828182

  |L2|=e^2−2e=1.95249

  |L3|=e^3−3e^2+3e/2=1.99579

  |Ln|→2

 しかし,Lkは単調増加するのではなく

  |L4|=2.0003

  |L5|=2.0005

  |L6|=2.0000

  |L7|=1.9999

  |L8|=1.9999

  |L9|=1.9999

  |L10|=2.0000

  |L11|=2.0000

  |L12|=1.9999

  |L13|=1.9999

  |L14|=1.9999

  |L15|=2.0000

  |L16|=2.0000

  |L17|=2.0000

  |L18|=2.0000

と振動しながら2に収束する.

 そして,

  L1+L2+・・・+Lk→2k−1/3

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