今回のコラムでは，行列に関する等式・不等式をいくつか紹介してみます．
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【１】ニュートンの不等式
ｎ×ｎ行列
［ａ11，ａ12，・・・，ａ1n］
Ａ＝｛ａij｝＝［ａ21，ａ22，・・・，ａ2n］
［・・・・・・・・・・・・］
［ａn1，ａn2，・・・，ａnn］
について，‖Ａ‖^2＝ΣΣａij^2，ＴｒＡ＝Σａiiとおくと，シュワルツの不等式から次の不等式が成り立つ．
‖Ａ‖^2≧（ＴｒＡ）^2／ｎ （等号成立はＡ＝αＩのとき）
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【２】エルミートの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）
ガウスは正定値２元２次形式
Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2 （ｘ，ｙは整数）
に座標軸のなす角の余弦がｂ／√ａｃのとき，ある点Ｐと原点との距離の２乗であるという幾何学的解釈を与えている．これにより全平面は平行四辺形の格子に分割され，Ｄ＝｜ｂ^2−ａｃ｜は基本平行四辺形の面積の２乗に等しくなる．３元２次形式の場合は，平行四辺形は平行六面体に置き換えられる．
Ｐ＝Σａijｘiｘj （ａji＝ａij）
で与えられた判別式Ｄをもつ正定値ｎ元２次形式Ｐにおいて，係数を連続的に変化させると最小値もまた連続的に変化する．エルミートは正定値ｎ元２次形式の最小値の上界が
（４／３）^(n-1)/2｜Ａ｜^1/n （エルミートの不等式）
であることを示した．
エルミートはさらに２（｜Ａ｜／（ｎ＋１））^1/nで置き換えられるであろうと予想したが，コルキンとゾロタレフはこれよりも最小上界に近い他の上界を得ている．
ｎ＝２ → （４｜Ａ｜／３）^1/2
ｎ＝３ → （２｜Ａ｜）^1/3
ｎ＝４ → （４｜Ａ｜）^1/4
ｎ＝５ → （８｜Ａ｜）^1/5
その後，ブリヒフェルトが
ｎ＝６ → （３｜Ａ｜／６４）^1/6
ｎ＝７ → （６４｜Ａ｜）^1/7
ｎ＝５ → （２｜Ａ｜）^1/8
を証明した．
［補］極大格子
ｎ ルート 最小距離 球充填密度
１ １ １
２ Ａ2 4√（４／３） ＝１．０７５ ０．９０６
３ Ａ3 6√２ ＝１．１２２ ０．７４０
４ Ｄ4 8√４ ＝１．１８９ ０．６１９
５ Ｄ5 10√８ ＝１．２３１ ０．４６５
６ Ｅ6 12√（６４／３）＝１．２９０ ０．３７３
７ Ｅ7 14√６４ ＝１．３４６ ０．２９５
８ Ｅ8 √２ ＝１．４１４ ０．２５４
［補］最密球充填
ｎ ルート 球充填密度
２ Ａ2 π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）
３ Ａ3 π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）
４ Ｄ4 π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）
５ Ｄ5 π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）
６ Ｅ6 π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）
７ Ｅ7 π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）
８ Ｅ8 π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）
［補］最疎球被覆
ｎ ルート 球被覆密度
２ Ａ2~ ２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）
３ Ａ3~ ５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）
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【３】ミンコフスキーの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）
ミンコフスキーもｎ元２次形式を考え，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが
Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n （Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）
で与えられることを証明しました．この結果はエルミートのものより精密です．
ガンマ関数の漸近表示を用いれば
Ｍ＜２ｎ√ｎπｅ^1/3n／πｅ・｜Ａ｜^1/n〜０．２３４ｎ√ｎπｅ^1/3n・｜Ａ｜^1/n
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【４】補足
［１］固有値・固有ベクトル
ｎ次正方行列Ｈ＝｛ｈij｝に対して，ベクトルｘと定数λが存在して，
Ｈｘ＝λｘ
となるとき，この定数λを固有値，ベクトルｘを固有値λに対する固有ベクトルといいます．すなわち，Ｈをかけることが単なる定数倍になるようなうまい方向ｘが行列Ｈの固有ベクトルであり，そのときの定数λが固有値です．
固有ベクトルとは，線形変換によって，方向が変わらないベクトルにほかなりませんし，その際の拡大・縮小率が固有値であると言い換えることもできましょう．
単位行列をＥと書いて，
｜Ｈ−λＥ｜＝０
を展開してλの次数の順に書き直すと，λについてのｎ次方程式（特性方程式）
ｐn（−λ）^n＋ｐn-1（−λ）^n-1＋・・・＋ｐ0＝０
が得られます．ただし，
ｐn＝１
ｐn-1＝ｈ11＋ｈ22＋・・・＋ｈnn＝ｔｒ（Ｈ）
ｐn-r＝Ｈの中のｒ次の主対角小行列式の和
ｐ0＝｜Ｈ｜
また，特性方程式のλにＨを代入し，定数項は定数×Ｅとすることによってできる行列の多項式
ｐn（−Ｈ）^n＋ｐn-1（−Ｈ）^n-1＋・・・＋ｐ0Ｅ＝Ｏ
が，ゼロ行列Ｏ（全成分が０の行列）に等しくなるというのが，「ケイリー・ハミルトンの定理」です．
また，固有多項式の根と係数の関係より，トレース（対角線の項の和）＝固有値の総和，すなわち，
ｈ11＋ｈ22＋・・・＋ｈnn＝λ1＋・・・＋λn
が成り立ちます．トレースは全固有値の和であり，大切な不変式になっています．
一方，行列式は全固有値の積と一致します．
｜Ｈ｜＝λ1λ2・・・λn（＝平行多面体の体積）
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［２］正定値２次形式
原点を中心とする２次元楕円は，
ａｘ^2 ＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝１
あるいは，行列・ベクトル表現すると
［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ／２］［ｘ］＝１
［ｂ／２，ｃ］［ｙ］
と書けます．左辺のような形の式を２次形式といい，すべての実数ｘ，ｙに対して正となるためには，
ａ＞０，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＜０
が成り立たなくてはなりません．
よく知られているように，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃは２次方程式ａｘ^2 ＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式であり，行列式
｜ａ，ｂ／２｜＝ｂ^2／４−ａｃ
｜ｂ／２，ｃ｜
と関係しています．
一般に，原点を中心とする２次超曲面
Σｈijｘiｘj＝１ （ｈij＝ｈji）
が，ｎ次元楕円であるための条件は，左辺の２次形式がすべての実数ｘ1，・・・，ｘnに対して正定値（positive definitive）であること，すなわち，ｎ×ｎ行列：Ｈ＝｛ｈij｝が正定値の行列であることです．
そのための必要十分条件は，ｋ行・ｋ列までを取り出して得られる小行列式｜Ｈk｜を
｜ｈ11・・・ｈ1k｜
｜Ｈk ｜＝｜・・・・・・・｜
｜ｈk1・・・ｈkk｜
として
｜Ｈ1｜＝ｈ11＞０，｜Ｈ2｜＝｜ｈ11 ｈ12｜＞０，・・・，
｜ｈ21 ｈ22｜
｜Ｈn｜＝｜Ｈ｜＞０
となることです．
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