ユークリッド整域は，ある数体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題です．（それに対して，単項イデアル整域（ＰＩＤ）は素因数分解の一意性が成り立つかどうかという問題です．）

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【１】複素数の場合

　Ｚ（（−１＋√−ｄ）／２）は複素平面内で斜交格子を形成する．その菱形の４頂点は（０，√−ｄ，（１＋√−ｄ）／２，（−１＋√−ｄ）／２）

　β^-1αに最も近いＺ（√−ｄ）整数γが１未満にあるためには，

　　ｌ^2＝（√ｄ／２−ｌ）^2＋（１／２）^2

　　−ｌ√ｄ＋（ｄ＋１）／４＝０

　　ｌ＝（ｄ＋１）／４√ｄ

　　ｄ＝３のとき，１／√３＜１（ユークリッド整域）アイゼンシュタイン整数環（正三角形格子）

　　ｄ＝７のとき，２／√７＜１（ユークリッド整域）

　　ｄ＝１１のとき，３／√１１＜１（ユークリッド整域）

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【２】八元数の場合

　八元整数は成分がすべて整数の数だけでは不十分で，適当に半整数（整数＋１／２）も含める必要があります．

　ここで，八元整数の体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題があるのですが，ケイリー（その後何人か）が代数的に証明しようとして失敗したという逸話が伝わっています．

　それは可能なことをはじめて証明したのがコクセターです．その証明は幾何学的で，８次元空間内で正単体と正軸体をうまく組み合わせると空間充填可能になります．コクセターは八元整数全体をうまく結ぶと自然にその充填形ができることを証明し，β^-1αに最も近い八元整数γが１未満にあることを幾何学的に証明したことになります．

　なぜなら，辺の長さが１の正単体，正軸体で頂点から最も近いのはその中心で，そこまでの距離名それぞれ

　　２／３＜１，１／√２＜１

となるからです．

　代数的に証明しようとして失敗した難問が，図形的に考えれば，ほとんど自明な事実となってしまったというわけです．

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