ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）
は楕円曲線であり，ｙ^2＝ｘ^3−ｘの有理点は点（０，０）（±１，０）のみである．実は，命題「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4をみたす自然数は存在しない」は命題「ｙ^2＝ｘ^3−ｘの有理数解は（ｘ，ｙ）＝（０，０），（±１，０）のみである」に帰着できる．ｘ^4＝ｚ^4−ｙ^4の両辺にｚ^2／ｙ^6をかければ
（ｘ^2ｚ／ｙ^3）^2＝（ｚ^2／ｙ^2）^3−（ｚ^2／ｙ^2）
したがって，ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4をみたす自然数は存在しないのである．
今回のコラムでは，楕円曲線
ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘ＝ｘ（ｘ＋Ａ）（ｘ−Ａ）
の問題を扱うことにする．
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【１】フィボナッチの問題
ピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2には無数の自然数解があるのですが，それでは連立２次のディオファントス方程式：
ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2
ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2
の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．
ただし，（１，０，±１，±１）などの自明な解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．
実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理と呼ばれます．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．すなわち（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）の最大公約数が１である任意の原始解を定めるとｘ’＜ｘなる第２の原始解，ｘ”＜ｘ’なる第３の原始解，・・・ができて矛盾を生じてしまうのです（要するに数学的帰納法）．
さらに，この定理を応用すると，
「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」
「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」
「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」
などが証明できます．
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【２】合同数問題
正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．
合同数をすべて求めること，あるいは与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定することは古代からの問題であった．たとえば，６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．最小の合同数は直角三角形（３／２，２０／３，４１／６）の面積５である．１が合同数ではないことはフェルマーが証明した．７が合同数であることを示したのはオイラーである．
合同数問題を同値な形で言い換えると，「Ａを与えるとき，有理数ｘでｘ^2＋Ａとｘ^2−Ａがともに有理数の平方となるものを見つけることができるか」になる．すなわち，（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は
ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2
ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2
が整数解でｙ≠０のものをもつことである．Ａ＝１のときがフィボナッチの問題である．
２つの方程式をかけると
（ｚｗｘ／ｙ^3）^2＝（ｘ^2／ｙ^2）^3−Ａ^2（ｘ^2／ｙ^2）
を得る．
合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：
ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘ＝ｘ（ｘ＋Ａ）（ｘ−Ａ）
Ａは合同数←→ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘは無限個の有理点をもつ
との関連については
J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版
などを参照していただきたいのであるが，わかっていることをまとめると，
［１］Ａが分離的数の場合，
Ａ＝１，Ａ＝２→自明解のみ
Ａ＝３（ｍｏｄ８）→自明解のみ
Ａ＝５，６，７（ｍｏｄ８）７→非自明解がある
Ａ＝１，２（ｍｏｄ８）→どちらの場合もある
Ａが分離的とはｐ^2｜Ａなる素数ｐがないこと，すなわち，Ａ＝±ｐ1ｐ2・・・ｐn，ｐi≠ｐjと因数分解されることである（Ａ＝±１は分離的，Ａ＝１は平方数であり分離的数である唯一の整数）．
ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）７→非自明解がある
という予想は，ＢＳＤ予想からも自然にでてくるものであるという．
［２］非自明解がある場合，
Ａｃ^2＝ａｂ（ａ^2−ｂ^2） （ａ，ｂ）＝１，ａ≠ｂ（ｍｏｄ２）
を満足するａ，ｂ，ｃに対して，
ｘ＝（ａ^2＋ｂ^2，２ｃ，ａ^2−ｂ^2＋２ａｂ，ａ^2−ｂ^2−２ａｂ）
は非自明解を与える．
Ａ＝１，２，３，４は合同数ではなく，Ａ＝５，６，７は合同数であるが，与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定する手順については
［３］タンネルの定理（１９８３）
Ａを平方因子をもたない正の奇数とすると，Ａが合同数ならば
２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数は，２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数の２倍に等しい．（ＢＳＤ予想が正しいならば逆も成立する．）
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【３】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆp
演算表は割愛しますが，（その２）で示したように，Ｆpでの整数点の個数をＮpとすると
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
となります．
また，q=exp(2πiz)とおいて，関数
F(z)=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考えます．c(n)はF(z)のフーリエ係数です．
ｎ １ ５ ９ １３ １７ ２５ ２９
c(n) １ −２ −３ ６ ２ −１ −１０
F(z)は，モジュラー
ad-bc=1,c=0(mod 32，すなわち３２の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．とくに，
a=1,b=1,c=0,d=1
のとき，F(z+1)=F(z)となって，実軸方向に周期１の関数になっていることがわかります．
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
c(p) ０ ０ −２ ０ ０ ６ ２ ０ ０
すなわち，
Ｎp＋c(p)＝ｐ
という関係があることがわかります．Ｎｐは楕円曲線からの数列，c(p)は保型形式からの数列というまったく違った由来をもっているのに深いところで関連があるというわけです．このような対応がすべての楕円曲線について存在するというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
こみいった話になるのですが，F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σc(n)/n^s
を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものです．そして，楕円曲線Ｅに対してよい還元になる素数を使って，代数的ゼータ
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)
を定義します．一方，解析的ゼータを
L(s;Ｆ)=Σc(n)/n^s=Σc(n)q^n
で定義します．このとき，すべての素数に対して「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が成り立つというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような半安定な楕円曲線：
ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）
が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，ワイルズは「半安定」なという制限付きの谷山予想を証明することによってフェルマーの最終定理が解決しました．すなわち，楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示したというわけです．その後，谷山予想は１９９９年に完全に証明され，定理となりました．
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【４】ｙ^2＝ｘ^3−ｎ^2ｘ on Ｆq
各素数に対して，ｐ個の元からなる有限体Ｆpが存在する．任意の素数ｐと整数ｒが与えられたとき，ｑ＝ｐ^r個の元からなる有限体Ｆqはただ一つ存在し，Ｆq≧Ｆpである．
ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ （ａ，ｂ＜Ｆq）
のＦq×Ｆqにおける解の個数Ｎpは無限遠点とともに，位数Ｎp＋１のアーベル群をなす．アルチンは１９２４年に
｜Ｎp−ｐ｜≦２√ｐ
を予想した．この予想は１９３６年にハッセによって証明された．
ｐが２ｎを割らないとき，Ｆp上で定義された楕円曲線をＥn：ｙ^2＝ｘ^3−ｎ^2ｘとおく．ｑ＝ｐ^r，ｑ＝３（ｍｏｄ４）のとき，Ｆq有理点はｑ＋１個存在する．
＃Ｅn（Ｆq）＝ｑ＋１
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