■三角関数の無限乗積公式(その3)

 (その2)を具体的に記してみたい.

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sinx/x=Π{Σ(−1)^r/r!Π(2n−k)(2cosx/2n}^2n-2r-2}/2n

=Π{Σ(−1)^r(2n,2r+1){sinx/(2n)^k}^2r{cosx/(2n)^k}^(2n-2r-1)/2n

 r=0からn−1であるから,

[1]n=1のとき,

sinx/x=Π2{cosx/2^k}/2=Π{cosx/2^k}  (OK)

[2]n=2のとき,

sinx/x=Π{4{cosx/4^k}^3−4{sinx/4^k}^2{cosx/4^k}}/4

=Πcosx/4^k{{cosx/4^k}^2−{sinx/4^k}^2}

=Πcosx/4^k(2cos^2x/4^k−1)  (OK)

[3]n=3のとき,

sinx/x=Π{6{cosx/6^k}^5−20{sinx/6^k}^2{cosx/6^k}^3+6{sinx/6^k}^4{cosx/6^k}/6

=Πcosx/6^k{6{cosx/6^k}^4−20{sinx/6^k}^2+6{sinx/6^k}^4}/6

=Πcosx/6^k(6{cosx/6^k}^4−20{cosx/6^k}^2(1−{cosx/6^k}^2)+6(1−{cosx/6^k}^2)^2)/6

=Πcosx/6^k(32cos^4x/6^k−32cos^2x/6^k+6)/6  (OK)

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sinx/x=Π{Σ(−1)^r/r!Π(2n−k)(2cosx/(2n+1)^2n-2r}/(2n+1)

=ΠΣ(−1)^r(2n+1,2r+1){sinx/(2n+1)^k}^2r{cosx/(2n+1)^k}^(2n-2r)}/(2n+1)

 r=0からnであるから,

[1]n=1のとき,

sinx/x=Π{3{cosx/3^k}^2−{sinx/3^k}^2}/3

=Π(4cos^2x/4^k−1)/3  (OK)

[2]n=2のとき,

sinx/x=Π{5{cosx/5^k}^4−10{sinx/5^k}^2{cosx/5^k}^2+{sinx/5^k}^4}/5

=Π{5{cosx/5^k}^4−10{cosx/5^k}^2(1−{cosx/5^k}^2)+{1−{cosx/5^k}^2}^2}/5

=Π(16cos^4x/5^k−12cos^2x/5^k+1)/5  (OK)

[3]n=3のとき,

sinx/x=Π{7{cosx/7^k}^6−35{sinx/7^k}^2{cosx/7^k}^4+21{sinx/7^k}^4{cosx/7^k}^2−{sinx/7^k}^6}/7

=Π{7{cosx/7^k}^6−35{cosx/7^k}^4(1−{cosx/5^k}^2)+21{cosx/7^k}^2(1−{cosx/5^k}^2)^2−(1−{cosx/5^k}^2)^3}/7

=Π(64cos^6x/7^k−80cos^4x/7^k+24cos^2x/7^k−1)/7  (OK)

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