［１］ｘ^2＋１はガウス整数ａ＋ｂｉを生成

［２］ｘ^3−１はアイゼンシュタイン整数ａ＋ｂωを生成

［３］ｘ^2＋５は整数ａ＋ｂ√−５を生成する．

　ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2の場合は微妙だが，決定的な違いがある．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

が成り立つが，２，３，（１＋√−５），（１−√−５）は単数でないＺ（√−５）の元の積で表すことはできないのである．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　　２１＝３・７＝（１＋２√−５）（１−２√−５）

　Ｑ（√−５）の類数は２．ｄ＝５はＱ（√−ｄ）の類数が２である最小のｄ．

　ユークリッドのアルゴリズムがうまくいくのは，一意分解が存在するのであるがＱ（√−５）の場合，それが存在しないのである．

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【１】素数の分解

　たとえば，θ＝√−５は，ＰＩＤではありません．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

が成り立つが，２，３，（１＋√−５），（１−√−５）は単数でないＺ（√−５）の元の積で表すことはできないのである．

　たとえば，２＝αβで，α，βが単数でなければ，４＝Ｎ（２）＝Ｎ（α）Ｎ（β）から，Ｎ（α）＝Ｎ（β）＝２でなければならないが，

　　Ｎ（ａ＋ｂ√−５）＝ａ^2＋５ｂ^2＝２

となるａ，ｂは存在しない．３，（１＋√−５），（１−√−５）についても同様である．

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