■4n+1型素数(その5)

 素数pが2または4n+1型素数のときに限り,

  p=x^2+y^2=(x+yi)(x−yi)

ガウス整数として因数分解できる.

  2=(1+i)(1−i)

  5=(2+i)(2−i)

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 ここでは,4n+3型素数はガウス素数であることを示しておきたい.

  p=(a+bi)(c+di)

とガウス素数の積に分解されるとすると

  N(a+bi)N(c+di)=p^2

であるから,

  N(a+bi)=N(c+di)=p

  a^2+b^2=p=3  (mod4)

でなければならない.

 しかし,(奇数)^2=1,(偶数)^2=1  (mod4)であるから

  a^2+b^2=0,1,2  (mod4)

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