特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

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　数値実験してみましょう．

　　２＝１^2＋１^2

　　３＝

　　５＝２^2＋１^2

　　７＝

　１１＝

　１３＝３^2＋２^2

　１７＝４^2＋１^2

　１９＝

　２３＝

　２９＝５^2＋２^2

　３１＝

　３７＝６^2＋１^2

　４１＝５^2＋４^2

　４３＝

　４７＝

　５３＝７^2＋２^2

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　すなわち，素数ｐが２または４ｎ＋１型素数のときに限り，

　　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

ガウス整数として因数分解できるのである．

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