■わが闘争・2015(その6)

 n単純多面体では

  2f1=nf0

が成り立つが,n単体的多面体では

  2fn-2=nfn-1

である.

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 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.また,

  hj=hn-j

が成り立つ.

 巡回多面体は単体的多面体であり,上限定理の右辺は,頂点数f0のn次元巡回的多面体のfjである.すなわち,頂点数f0のn多面体のj面の最大数はいくつか?に対して,頂点数f0のn巡回多面体はすべてのjに対して最大数のj面をもつというのが「上限定理」である.

[1]nが偶数のとき

  fj≦Σ(f0−k,k)(k,j+1−k)f0/(f0−k)、k=1〜[n/2]

[2]nが奇数のとき

  fj≦Σ(f0−k,k+1)(k+1,j+1−k)(j+2)/(f0−k)、k=0〜[(n−1)/2]

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 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

 また,このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(−1)^k-j(n−j,n−k)fj-1=Σ(0,n-k)(−1)^n-k-j(n−j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1

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