おそらく最も重要な多面体の問題は，一般の（単体的でない）多面体の諸計量，とりわけｆベクトルを理解することであろう．ここでは，ワイソフ多面体のｆベクトル（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-1，ｆn）の全容解明について，補足しておきたい．

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　ｎ次元コンパクト凸多面体（頂点数ｆ0）のｆjに関するモツキンの上限予想とは，多くとも頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのそれであるというものである（ｆ0頂点のｎ多面体の中で，もっとも多い面をもつのは巡回多面体である）．

　　ｆj≦（頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのｆj）

　この上限予想はマクマレンによって１９７０年に証明され（マクマレンの上限定理），その後，スタンレーによって可換環論的再証明が与えられている．

（−１，０）＝１とすると

［１］ｎが偶数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ）（ｋ，ｊ＋１−ｋ）ｆ0／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝１〜［ｎ／２］

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｊ＋１−ｋ）（ｊ＋２）／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝０〜［（ｎ−１）／２］

　これらの右辺は，頂点数ｆ0のｎ次元巡回的多面体のｆjというわけである．

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　また，ｆベクトルとｈベクトルの関係が母関数を使って大変見通しよく説明することができる．

　多面体Ｐの母関数を

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j

で定義する．ｆ-1＝１

　このとき，

　　Ｈ（ｔ）＝（１−ｔ）^nＦ（ｔ／（１−ｔ））＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j（１−ｔ）^(n-j)

はｎ次の多項式であり，

　　Ｈ（ｔ）＝Σ(0,n)ｈp・ｔ^p

と書くことができる．

　逆に，

　　Ｆ（ｔ）＝（１＋ｔ）^nＨ（ｔ／（１＋ｔ））＝＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j

であり，

　　ｈp＝Σ(0,p)（−１）^(p-j)（ｎ−ｊ，ｎ−ｐ）ｆjｰ1，０≦ｐ≦ｎ

　　ｆj-1＝Σ(0,j)（ｎ−ｐ，ｎ−ｊ）ｈp，０≦ｊ≦ｎ

となる．

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　したがって，ｆjを与えることとｈpを与えることは同値である．

　ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つことは，

　　Ｆ（ｔ−１）＝（−１）^nＦ（−ｔ）

　　Ｈ（ｔ）＝ｔ^nＨ（１／ｔ）

が成立すること，あるいは，

　　ｈp＝ｈn-p

が成り立つことと同値である．

　　Ｆ（ｔ／（１−ｔ））＝Ｈ（ｔ）／（１−ｔ）^n＝Σ(0,n)ｆj-1・ｔ^j／（１−ｔ）^j

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