もう一点．素因数分解の一意性に相当する定理も必要になった→コラム「ｎ次元平行多面体数（その６３）」参照．

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　　Ｐ×Ｑのｆベクトルをｆ，Ｒ×Ｓのｆベクトルをｇとする．

　　ｆ＝ｇ，ｆ＝ｐ×ｑ，ｇ＝ｒ×ｓ

　　ｐ0ｑ0＝ｒ0ｓ0

　　ｐ0ｑ1＋ｐ1ｑ0＝ｒ0ｓ1＋ｒ1ｓ0

　　ｐ0ｑ2＋ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0＝ｒ0ｓ2＋ｒ1ｓ1＋ｒ2ｓ0

　　ｐ0ｑ3＋ｐ1ｑ2＋ｐ2ｑ1＋ｐ3ｑ0＝ｒ0ｓ3＋ｒ1ｓ2＋ｒ2ｓ1＋ｒ3ｓｑ0

ｒ0＝ｋｐ0，ｓ0＝ｑ0／ｋ

を第２行に代入すると，

　　ｐ0ｑ1＋ｐ1ｑ0＝ｋｐ0ｓ1＋ｒ1ｑ0／ｋ

　　ｐ0（ｑ1−ｋｓ1）＝ｑ0（ｒ1／ｋ−ｐ1）

が恒等式であるためには，

ｒ1＝ｋｐ1，ｓ1＝ｑ1／ｋ

第２行に代入すると

　　ｐ0ｑ2＋ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0＝ｋｐ0ｓ2＋ｐ1ｑ1＋ｒ2ｑ0／ｋ

　　ｐ0ｑ2＋ｐ2ｑ0＝ｋｐ0ｓ2＋ｒ2ｑ0／ｋ

　　ｐ0（ｑ2−ｋｓ2）＝ｑ0（ｒ2／ｋ−ｐ2）

ｒ2＝ｋｐ2，ｓ2＝ｑ2／ｋ

　かくして

　　ｒ＝ｋｐ，ｓ＝１／ｋ・ｑ

　　（ｒ0，・・・，ｒn-1）＝ｋ（ｐ0，・・・，ｐn-1）

　　（ｓ0，・・・，ｓn-1）＝１／ｋ（ｑ0，・・・，ｑn-1）

となるが，ｐn＝１，ｑn＝１まで拡張したｆベクトルを考えれば，末尾は１，０，０，・・・になるので，これはあり得ないことになる．

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