（その１）では（ｍｏｄ π）で考えていましたが，（その２）ではその条件を外してしまいました．その方が証明がすっきりしっくりくると思われたからです．しかし，ｍｏｄ πによる還元は必要のようです．今回のコラムではそのことについて再考してみたいと思います．
正四面体 → ｃｏｓδ4＝１／３，ｓｉｎδ4＝√８／３
立方体 → ｃｏｓδ6＝０，ｓｉｎδ6＝１
正八面体 → ｃｏｓδ8＝−１／３，ｓｉｎδ8＝√８／３
正十二面体 → ｃｏｓδ12＝−√５／５，ｓｉｎδ12＝√２０／５
正二十面体 → ｃｏｓδ20＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３
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【１】デーンの補題
「分解合同な２つの多面体について，関係式
Σｍiαi＝Σｎiβi＋ｋπ （αi，βiは二面角，ｍi，ｎiは自然数，ｋは整数）
が成り立つ．」
正多面体ではすべての二面角が等しいので，
ｎ1α＝ｎ2β＋ｋπ
ですが，ｎ1，ｎ2を０でない整数として，
ｎ1α＋ｎ2β＝０ （ｍｏｄ π）
が成り立つとしても同値です．
［参］ボルチャンスキー・ロプシッツ「面積と体積」東京図書
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【２】デーンの定理
「正四面体と立方体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」ことは，
ｎ1δ＝ｎ2（π／２）＋ｋπ
が成り立たないことを使って証明されます．
（証）分解合同ならば
２ｎ1δ＝ｎ2π＋２ｋπ＝（ｎ2＋２ｋ）π
これを改めて
ｍδ＝ｎπ （ｍ，ｎは自然数）
とおくことにする．
ｃｏｓδ＝１／３，ｓｉｎδ＝√８／３
ｚ＝ｅｘｐ（ｉδ）＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３
ｚ−１／３＝ｉ√８／３
より，ｚは２次方程式３ｚ^2−２ｚ＋３＝０の解である．
ｚ^m＝ｅｘｐ（ｉｍδ）＝ｃｏｓｍδ＋ｉｓｉｎｍδ
＝ｃｏｓｎπ＋ｉｓｉｎｎπ＝±１
しかるに，ｃｏｓδ＝１／３，ｓｉｎδ＝√８／３より
ｃｏｓｍδ＝（ｃｏｓδのｍ次多項式）＝（有理数）
ｓｉｎｍδ＝ｓｉｎδ×（ｃｏｓδのｍ−１次多項式）＝（無理数）
ここで，
ｚ^m＝ｅｘｐ（ｉｍδ）＝ｃｏｓｍδ＋ｉｓｉｎｍδ （非周期的）
と
ｚ^m＝ｃｏｓｎπ＋ｉｓｉｎｎπ＝±１ （周期的）
の実部，虚部を比較すれば，前者では実部が±１，虚部が０にならない（永久に回転し続けたとしても両者が再び接することはない）ので矛盾である→分割合同ではない．
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［補］ド・モアブルの定理：
（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ
の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると
ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）
ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｇn（ｃｏｓθ）
を得る．
また，
ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ
ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ
より，漸化式
Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｇn-1（ｃｏｓθ）
Ｇn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＧn-1（ｃｏｓθ）
Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）
Ｇn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＧn-1（ｃｏｓθ）−Ｇn-2（ｃｏｓθ）
が成り立つ．
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【３】デーンの定理の系
等積であっても分解合同でない２つの多面体は他にも見つけられる．立方体との分解合同
ｎ1δ4≠ｎ2δ6，ｎ1δ6≠ｎ2δ8，ｎ1δ6≠ｎ2δ12，ｎ1δ6≠ｎ2δ20 （ｍｏｄ π）
は前節と同様にして証明される．それでは分解合同の相手が立方体以外ではどうなるだろうか．
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［１］ｎ1δ4≠ｎ2δ8 （ｍｏｄ π）
（証）ｎ1δ4＝ｎ2δ8 （ｍｏｄ π）
と仮定すると，δ8＝π−δ4より
ｎ1δ4＝ｎ2（π−δ4）＝−ｎ2δ4 （ｍｏｄ π）
（ｎ1＋ｎ2）δ4＝０ （ｍｏｄ π）
しかし，前節より，
ｍδ4≠ｎπ
ｍδ4≠０ （ｍｏｄ π）
なので矛盾→分割合同ではない．
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［２］ｎ1δ12≠ｎ2δ20 （ｍｏｄ π）
（証）ｎ1δ12＋ｎ2δ20＝０ （ｍｏｄ π）と仮定すると，
ｚ12＝ｅｘｐ（ｉδ12）＝ｃｏｓδ12＋ｉｓｉｎδ12＝−√５／５＋ｉ√２０／５
ｚ20＝ｅｘｐ（ｉδ20）＝ｃｏｓδ20＋ｉｓｉｎδ20＝−√５／３＋ｉ２／３
ｚ12^n1＝ｅｘｐ（ｉｎ1δ12）＝ｃｏｓｎ1δ12＋ｉｓｉｎｎ1δ12
ｚ20^n2＝ｅｘｐ（ｉｎ2δ20）＝ｃｏｓｎ2δ20＋ｉｓｉｎｎ2δ20
ｅｘｐ（ｉｎ1δ12＋ｉｎ2δ20）＝ｃｏｓ（ｎ1δ12＋ｎ2δ2）＋ｉｓｉｎ（ｎ1δ12＋ｎ2δ20）＝±１
ここで，実部と虚部
ｃｏｓ（ｎ1δ12＋ｎ2δ20）＝ｃｏｓｎ1δ12ｃｏｓｎ2δ20−ｓｉｎｎ1δ12ｓｉｎｎ2δ20＝（ａ1＋ｂ1√５）（ａ2＋ｂ2√５）−（ｂ3√５）（ａ4＋ｂ4√５）（ｂ5√５）（ａ6）＝（無理数）
ｓｉｎ（ｎ1δ12＋ｎ2δ20）＝ｓｉｎｎ1δ12ｃｏｓｎ2δ20＋ｃｏｓｎ1δ12ｓｉｎｎ2δ20＝（ｂ3√５）（ａ4＋ｂ4√５）（ａ2＋ｂ2√５）＋（ａ1＋ｂ1√５）（ｂ5√５）＝（無理数）
を比較すれば，実部は±１，虚部は０にならないので矛盾である→分割合同ではない．
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同様の議論から
ｎ1δ4＋ｎ2δ6≠０，ｎ1δ4＋ｎ2δ8≠０，ｎ1δ4＋ｎ2δ12≠０，
ｎ1δ4＋ｎ2δ20≠０，ｎ1δ6＋ｎ2δ8≠０，ｎ1δ6＋ｎ2δ12≠０，
ｎ1δ6＋ｎ2δ20≠０，ｎ1δ8＋ｎ2δ12≠０，ｎ1δ8＋ｎ2δ20≠０，
ｎ1δ12＋ｎ2δ20≠０ （ｍｏｄ π）
がいえます．
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【４】デーンの定理の一般化
５種類の正多面体での分解合同の関係式
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠ｋπ
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠０ （ｍｏｄ π）
は成り立つでしょうか？
（証）ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20＝ｋπとすると，δ8＝π−δ4，δ6＝π／２より
２ｎ1δ4＋ｎ2π＋２ｎ3（π−δ4）＋２ｎ4δ12＋２ｎ5δ20＝２ｋπ
２（ｎ1−ｎ3）δ4＋２ｎ4δ12＋２ｎ5δ20＝０ （ｍｏｄ π）
Ｎ1δ4＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20＝０ （ｍｏｄ π）
ｅｘｐｉ（Ｎ1δ4＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＝±１
［２］［３−２］節より，実部と虚部
ｃｏｓ（Ｎ1δ4＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＝ｃｏｓＮ1δ4ｃｏｓ（Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）−ｓｉｎＮ1δ4ｓｉｎ（Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＝（ｃｏｓδ4のＮ1次多項式）（無理数）−ｓｉｎδ4（ｃｏｓδ4のＮ1−１次多項式）（無理数）＝（無理数）
ｓｉｎ（Ｎ1δ4＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＝ｓｉｎＮ1δ4ｃｏｓ（Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＋ｃｏｓＮ1δ4ｓｉｎ（Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20）＝ｓｉｎδ4（ｃｏｓδ4のＮ1−１次多項式）（無理数）＋（無理数）（ｃｏｓδ4のＮ1次多項式）＝（無理数）
を比較すれば，実部は±１，虚部は０にならないので矛盾である→分割合同ではない．
Ｎ1δ4＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０ （ｍｏｄ π）
したがって，Ｎ2δ6を添加しても
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０ （ｍｏｄ π）
が成り立ちます．
さらに，ｍｏｄ πも外せば
Ｎ1δ4＋Ｎ2δ6＋Ｎ3δ12＋Ｎ4δ20≠０
となり（δ4，０，０，０），（０，δ6，０，０），（０，０，δ12，０），（０，０，０，δ20）は４次元格子点空間の基底として理解することができます．基底の数はこれ以上減らすことはできません．これより，必要な原子が最低４種類という結論が主張できます．
［秋山の定理：２００９］正多面体の元素数は≧４である．
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