■角柱と反角柱(その27)

 n半立方体Hnのファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

  f(n,0)=2^n-1 → OK

  f(n,1)=2^n-2(n−1)n/2 → OK

  f(n,2)=2^n-2n(n−1)(n−2)/3 → OK

  f(n,3)=2^n-4n(n−1)(n−2)^2/3 → OK

  f(n,n−1)=2^n-1+2n → n>3のとき,OK

 k>2では

  f(n,k)=n!/(k+1)!(n−k)!{2^n-1(n−k)+2^n-k(k+1)}

ときれいな形にまとまった.さらに,・・・

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[1]2≦k≦n−1

  αk:2^n-1(n,k+1)

[2]3≦k≦n−1

  hγk:2^n-k(n,k)

[3]k=3→α3=hγ3

  2^n-1(n,4)+2^n-3(n,3)個の正四面体

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[まとめ]Dnの直観的理解のために半立方体を取り上げているのであるが,Enでは,P0Pn間に隙間ができて,球を詰め込めるようにになったものと理解すればいいのだろうか?

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